Um motor ICE 4 T de 4 cilindros e com rendimento mecânico de 80 \% opera a 2800 rpm . Os processos no interior de cada cilindro podem ser modelados por um ciclo Otto, com uma pressão de 101,3 \mathrm{kPa}, temperatura de 26,7^{\circ} \mathrm{C} e volume de 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} no início da compressão. A taxa de compressão é 10 e a pressão máxima do ciclo é 5 MPa . Considere uma vazão mássica de 0,439 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.

Determine:

a) A potência desenvolvida pelo motor;
b) A pressão média efetiva.

Passo 1

Dados fornecidos e o que a questão pede:
  • Motor: 4 cilindros, ciclo de 4 tempos (ICE 4T).
  • Rendimento mecânico: \eta_{mec}=80\%.
  • Velocidade do motor: 2800\\ \mathrm{rpm}.
  • No início da compressão (estado 1) em cada cilindro: p_1=101{,}3\\ \mathrm{kPa},\quad T_1=26{,}7^\circ\mathrm{C},\quad V_1=10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
  • Taxa de compressão: r=10.
  • Pressão máxima do ciclo (pressão no ponto de máxima combustão, estado 3): p_3=5\\ \mathrm{MPa}.
  • Vazão mássica (informada): \dot m=0{,}439\\ \mathrm{kg/s}.
O que pedir:
a) A potência desenvolvida pelo motor (interpreto aqui como a potência útil no eixo — potência de freio — após perdas mecânicas).
b) A pressão média efetiva (interpreto como a pressão média efetiva associada à potência efetiva no eixo — BMEP; ao longo da resolução também calculo a PMEE indicada para comparação).
Observação importante (decisão de método): os dados geométricos (p_1,T_1,V_1,r) permitem calcular a massa presa no cilindro e o trabalho por ciclo usando o modelo ideal do ciclo Otto; com isso obtém‑se a potência indicada e, aplicando \eta_{mec}, a potência de freio. A vazão mássica fornecida \dot m é incompatível com a massa calculada a partir de p_1,V_1,T_1 (apareceria um fluxo diferente), portanto vou seguir o caminho clássico do ciclo Otto baseado na geometria (massa por cilindro obtida por p_1V_1=mRT_1) — isto é o procedimento padrão para calcular pme e potência do motor a partir do ciclo. No final mostro rapidamente o que aconteceria se usássemos \dot m diretamente (apenas para comparação).

Passo 2

Resumo do método passo a passo (o “plano de ataque”):
  1. Converter temperaturas para kelvin: T_1.
  2. Usar propriedades do ar como fluido de trabalho: R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \gamma=1{,}4. Calcular c_v=\dfrac{R}{\gamma-1}.
  3. Usar relações adiabáticas para o processo 1\to2 (compressão): T_2=T_1\,r^{\gamma-1} e p_2=p_1\,r^\gamma.
  4. Como a combustão é modelada por adição de calor a volume constante 2\to3, obter T_3 a partir da razão p_3/p_2: T_3=T_2\,(p_3/p_2).
  5. Expansão adiabática 3\to4: T_4=T_3/r^{\gamma-1}.
  6. Energia por unidade de massa: trabalho líquido específico do ciclo Otto \;w_{\text{net}}=c_v\big[(T_3-T_4)-(T_2-T_1)\big].
  7. Massa por cilindro no início da compressão: m=\dfrac{p_1V_1}{R T_1}.
  8. Trabalho por ciclo por cilindro: W_{\text{ciclo}}=w_{\text{net}}\cdot m.
  9. Determinar número de ciclos por segundo: para ciclo de 4 tempos cada cilindro tem um ciclo cada 2 rotações; calcular N em \mathrm{rev/s} e ciclos por segundo por cilindro =N/2.
  10. Potência indicada: P_i = W_{\text{ciclo}}\cdot(\text{nº ciclos/s por cilindro})\cdot(\text{nº de cilindros}).ºº
  11. Potência de freio (potência desenvolvida no eixo): P_b=\eta_{mec}\,P_i.
  12. Pressão média efetiva indicada (PMEI): p_{me,i} = \dfrac{W_{\text{ciclo}}}{V_{\text{varr}}}, com volume varrido por cilindro V_{\text{varr}}=V_1-V_2=V_1(1-1/r).
  13. Pressão média efetiva de freio (BMEP): p_{me,b}=\eta_{mec}\,p_{me,i}.
Vou agora executar estes passos com contas detalhadas.

Passo 3

Constantes, conversões e primeiro cálculo:
  • Converter T_1: T_1=26{,}7^\circ\mathrm{C}=26{,}7+273{,}15=299{,}85\\ \mathrm{K}.
  • Constantes do ar: R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad \gamma=1{,}4.
  • Calcular c_v: c_v=\frac{R}{\gamma-1}=\frac{287}{1{,}4-1}= \frac{287}{0{,}4}=717{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Processo adiabático de compressão 1\to2:
  • Fator r^{\gamma-1}=10^{0{,}4}. Numericamente: r^{\gamma-1}=10^{0{,}4}\approx 2{,}511886432.
  • Temperatura no fim da compressão: T_2 = T_1\,r^{\gamma-1}=299{,}85\cdot 2{,}511886432 \approx 752{,}69\\ \mathrm{K}.
  • Pressão no fim da compressão (adiabática): p_2 = p_1\,r^\gamma = 101{,}3\\ \mathrm{kPa}\cdot 10^{1{,}4}\approx 101{,}3\cdot 25{,}11886432 \approx 2{,}544{,}537\\ \mathrm{Pa}.
(Valores guardados com precisão suficiente para as contas seguintes.)

Passo 5

Adição de calor a volume constante 2\to3 (combustão modelada por aumento de pressão até p_3):
  • Dado p_3=5{,}0\\ \mathrm{MPa}=5{,}000{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Em volume constante, p\propto T, logo: T_3 = T_2\cdot\frac{p_3}{p_2} \approx 752{,}69\cdot\frac{5{,}000{,}000}{2{,}544{,}537}\approx 1{,}479{,}06\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Expansão adiabática 3\to4 até o volume inicial V_4=V_1:
  • Como T\propto V^{1-\gamma} em adiabática, com V_3=V_2=V_1/r e V_4=V_1, obtém‑se T_4 = T_3\cdot r^{-(\gamma-1)} = \frac{T_3}{r^{\gamma-1}} \approx \frac{1{,}479{,}06}{2{,}511886432}\approx 589{,}06\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Trabalho líquido específico do ciclo (por unidade de massa):
  • Fórmula (diferença entre calor recebido e rejeitado, usando c_v): w_{\text{net}} = c_v\big[(T_3-T_4)-(T_2-T_1)\big].
  • Substituindo valores: T_3-T_4 \approx 1{,}479{,}06-589{,}06=889{,}99\\ \mathrm{K},
T_2-T_1 \approx 752{,}69-299{,}85=452{,}84\\ \mathrm{K},
\Rightarrow w_{\text{net}}\approx 717{,}5\cdot(889{,}99-452{,}84)=717{,}5\cdot 437{,}16\approx 313{,}662\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 8

Massa presa em cada cilindro no início da compressão:
  • Usando a equação dos gases ideais p_1V_1=mRT_1: m=\frac{p_1V_1}{R T_1}=\frac{101{,}300\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}}{287\cdot 299{,}85}\approx 0{,}0011773\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Trabalho por ciclo por cilindro e número de ciclos por segundo:
  • Trabalho por ciclo (por cilindro): W_{\text{ciclo}} = w_{\text{net}}\cdot m \approx 313{,}662\cdot 0{,}0011773\approx 369{,}08\\ \mathrm{J}.
  • Velocidade do motor em revoluções por segundo: N = \frac{2800}{60}=46{,}6667\\ \mathrm{rev/s}.
  • Como é motor 4 tempos, cada cilindro realiza 1 ciclo a cada 2 rotações, logo ciclos por segundo por cilindro: f_{\text{cic}}=\frac{N}{2}=23{,}3333\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 10

Potência indicada P_i (total para os 4 cilindros) e potência de freio P_b:
  • Potência indicada total: P_i = W_{\text{ciclo}}\cdot f_{\text{cic}}\cdot(\text{nº de cilindros}) =369{,}08\cdot 23{,}3333\cdot 4 \approx 34{,}447{,}5\\ \mathrm{W}\approx 34{,}45\\ \mathrm{kW}.º
  • Potência de freio (potência desenvolvida no eixo) aplicando rendimento mecânico: P_b=\eta_{mec}\,P_i=0{,}8\cdot 34{,}447{,}5\\ \mathrm{W}\approx 27{,}558\\ \mathrm{kW}.
Observação: estes valores vêm diretamente do ciclo Otto modelado com os volumes e pressões fornecidos.

Passo 11

Cálculo da pressão média efetiva indicada e da pressão média efetiva de freio (BMEP):
  • Volume varrido por cilindro (sweep, swept volume): V_{\text{varr}}=V_1-V_2=V_1\Big(1-\frac{1}{r}\Big)=10^{-3}\Big(1-\frac{1}{10}\Big)=9{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
  • Pressão média efetiva indicada (PMEI): p_{me,i}=\frac{W_{\text{ciclo}}}{V_{\text{varr}}}=\frac{369{,}08}{9{,}0\times 10^{-4}}\approx 410{,}089\\ \mathrm{kPa}.(note que aqui transformei Pa→kPa para leitura; em Pa é 4{,}10089\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)
  • Pressão média efetiva de freio (BMEP), que é a PMEI reduzida pelas perdas mecânicas: p_{me,b}=\eta_{mec}\,p_{me,i}=0{,}8\cdot 410{,}089\\ \mathrm{kPa}\approx 328{,}071\\ \mathrm{kPa}.

Passo 12

Comentário rápido sobre a vazão mássica informada \dot m=0{,}439\\ \mathrm{kg/s}:
  • Se usássemos \dot m diretamente para calcular potência indicada por P_i = \dot m\; w_{\text{net}}, obteríamos: P_i^{(\dot m)} = 0{,}439\cdot 313{,}662\approx 137{,}696\\ \mathrm{W},e, com \eta_{mec}=0{,}8, P_b^{(\dot m)}\approx 110{,}157\\ \mathrm{W} (≈110,16 kW).
    Esse valor difere do valor obtido via volumes/rotas porque a massa por cilindro calculada por p_1V_1= mRT_1 e o número de ciclos/segundo implicam uma vazão mássica efetiva total do motor de aproximadamente 0{,}110\\ \mathrm{kg/s} (menor que 0{,}439\\ \mathrm{kg/s}). Ou seja: os dados geométricos e os dados de vazão mássica fornecidos não são consistentes entre si; por isso segui o procedimento clássico baseado nos volumes e no ciclo Otto para a solução principal (como explicado no Passo 1). Mostrei o cálculo com \dot m apenas para que você veja a diferença caso alguém interpretasse o enunciado de outro modo.

Resposta

(a) P_b = 27{,}56\\ \mathrm{kW}.
(b) p_{me,b} = 328{,}07\\ \mathrm{kPa}.

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