Uma equação de estado aproximada de um gás real a pressões moderadas, concebida para levar em conta o tamanho finito das moléculas, e P(v-b)=R theta, onde R e b são constantes. Demonstre que:
a. beta=1 / theta1+(b P / R theta)
b. kappa=1 / P1+(b P / R theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que está na área de Termodinâmica, mais especificamente sobre equações de estado dos gases reais. A equação dada é uma aproximação para levar em conta o tamanho finito das moléculas do gás. Nosso objetivo é demonstrar duas expressões matemáticas para β e κ usando essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são β e κ e como manipular a equação de estado fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de estado dada: .
Aqui:
  • é a pressão,
  • é o volume molar,
  • é uma constante que corrige o volume ocupado pelas moléculas,
  • é a constante dos gases,
  • geralmente representa a temperatura.
Essa equação é semelhante à equação de van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais para considerar o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas.

Passo 3

Agora, vamos definir o que são β e κ:
  • é o coeficiente de expansão térmica isobárica, que mede como o volume de um gás muda com a temperatura a pressão constante.
  • é a compressibilidade isentrópica, que indica como o volume de um gás muda com a pressão a temperatura constante.
Para encontrar expressões para β e κ, precisamos relacionar essas definições com a equação de estado fornecida.

Passo 4

Começando com β, que é definido como:
beta = 1v ( partial vpartial theta )P
Queremos expressar β em termos de , , , e .

Passo 5

Da equação de estado v = R thetaP + b , podemos isolar partial vpartial theta = RP :
Agora, derivamos em relação a mantendo constante:

Passo 6

Substituindo beta = 1v cdot RP na expressão de β:
beta = 1R thetaP + b cdot RP = R / PR theta / P + b = 1/theta1 + bPR theta
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos para κ, definido como:
kappa = -1v ( partial vpartial P )theta
Vamos encontrar a partir da equação de estado.

Passo 8

Da equação partial vpartial P = -R thetaP^2 , derivamos em relação a mantendo constante:

Passo 9

Substituindo kappa = -1v cdot ( -R thetaP^2 ) = R thetaP^2 v na expressão de κ:
kappa = R thetaP^2 ( R thetaP + b ) = 1/P1 + bPR theta
Substituindo :

Resposta

Assim, demonstramos que:
a.
b.

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