Uma equação de estado aproximada de um gás real a pressões moderadas, concebida para levar em conta o tamanho finito das moléculas, e
, onde R e b são constantes. Demonstre que:
a.
b.
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que está na área de Termodinâmica, mais especificamente sobre equações de estado dos gases reais. A equação dada é uma aproximação para levar em conta o tamanho finito das moléculas do gás. Nosso objetivo é demonstrar duas expressões matemáticas para β e κ usando essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são β e κ e como manipular a equação de estado fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de estado dada:
.
Aqui:
-
é a pressão, -
é o volume molar, -
é uma constante que corrige o volume ocupado pelas moléculas, -
é a constante dos gases, -
geralmente representa a temperatura.
Essa equação é semelhante à equação de van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais para considerar o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas.
Passo 3
Agora, vamos definir o que são β e κ:
-
é o coeficiente de expansão térmica isobárica, que mede como o volume de um gás muda com a temperatura a pressão constante. -
é a compressibilidade isentrópica, que indica como o volume de um gás muda com a pressão a temperatura constante.
Para encontrar expressões para β e κ, precisamos relacionar essas definições com a equação de estado fornecida.
Passo 4
Começando com β, que é definido como:
Queremos expressar β em termos de
,
,
, e
.
Passo 5
Da equação de estado
, podemos isolar
:
Agora, derivamos
em relação a
mantendo
constante:
Passo 6
Substituindo
na expressão de β:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos para κ, definido como:
Vamos encontrar
a partir da equação de estado.
Passo 8
Da equação
, derivamos
em relação a
mantendo
constante:
Passo 9
Substituindo
na expressão de κ:
Substituindo
:
Resposta
Assim, demonstramos que:
a.
b.