Calcule o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática, desde um volume vi até um volume final vf, quando a equaç ao for:
P v=R theta(1-B / v), [R= constante; B=f(theta)]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de termodinâmica onde precisamos calcular o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática. A equação de estado do gás é dada por , onde é a constante dos gases, é a temperatura, e é uma função de . Para resolver, vamos usar conceitos de trabalho em processos isotermais e integração de funções de pressão em relação ao volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de estado fornecida:
P v = R theta (1 - Bv)
Isso nos ajuda a expressar a pressão P = R thetav (1 - Bv) em função do volume W = integralvi^vf P , dv :
Essa relação é fundamental para calcular o trabalho, já que o trabalho em um processo quasi-estático é dado pela integral da pressão em relação ao volume:

Passo 3

Substituindo a expressão de W = integralvi^vf ( R thetav (1 - Bv) ) dv na integral do trabalho:
W = integralvi^vf ( R thetav - R theta Bv^2 ) dv
Vamos distribuir :

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral R thetav dv = R theta ln(v) :
integral R theta Bv^2 dv = -R theta Bv
  1. Para W = R theta ln(v)g|vi^vf - R theta Bvg|vi^vf :
Então, o trabalho total será:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
W = R theta ( ln(vf) - ln(vi) ) - R theta B ( 1vf - 1vi )
Simplificando a diferença de logaritmos:
W = R theta ln(vfvi) + R theta B ( 1vi - 1vf )

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão isotérmica é:
W = R theta ln(vfvi) + R theta B ( 1vi - 1vf )

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