2.3 Uma equação de estado aproximada de um gás real a pressões moderadas é P v=R \theta(1+B / v), onde R é uma constante e B função somente de \theta.
Demonstre que:
\beta=\frac{1}{\theta} \cdot \frac{v+B+\theta(d B / d \theta)}{v+2 B},

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado aproximada de um gás real a pressões moderadas:
P\,v \;=\; R\,\theta\Bigl(1 + \frac{B(\theta)}{v}\Bigr),
onde R é constante e B depende só de \theta. Queremos demonstrar que o coeficiente de dilatação isobárica
\beta \;=\; \frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial \theta}\Bigr)_{P}
vale
\beta \;=\; \frac{1}{\theta}\,\frac{v + B + \theta\,\frac{dB}{d\theta}}{v + 2B}.

Passo 2

Definimos
\beta = \frac{1}{v}\Bigl(\frac{dv}{d\theta}\Bigr)_{P}.
Para obter \frac{dv}{d\theta} a pressão constante, vamos diferenciar implicitamente a equação de estado em relação a \theta, mantendo P fixo.

Passo 3

Diferenciando P\,v = R\,\theta + R\,\theta\,\frac{B}{v} em \theta com P constante:
\frac{d}{d\theta}(P\,v) \;=\; \frac{d}{d\theta}\Bigl[R\,\theta\bigl(1+\tfrac{B}{v}\bigr)\Bigr].
No lado esquerdo vem
\frac{d}{d\theta}(P\,v) = P\,\frac{dv}{d\theta}.
No direito, usando produto e quociente,
\frac{d}{d\theta}\bigl[R\,\theta(1+\tfrac{B}{v})\bigr] = R\bigl(1+\tfrac{B}{v}\bigr) + R\,\theta\,\frac{d}{d\theta}\Bigl(\tfrac{B}{v}\Bigr).
E
\frac{d}{d\theta}\Bigl(\tfrac{B}{v}\Bigr) = \frac{1}{v}\,\frac{dB}{d\theta} - \frac{B}{v^{2}}\,\frac{dv}{d\theta}.

Passo 4

Substituindo esse resultado:
P\,\frac{dv}{d\theta} = R\Bigl(1+\tfrac{B}{v}\Bigr) + R\,\theta\Bigl(\tfrac{1}{v}\,\tfrac{dB}{d\theta} - \tfrac{B}{v^{2}}\,\tfrac{dv}{d\theta}\Bigr).
Reagrupando os termos que contêm \tfrac{dv}{d\theta}:
\Bigl(P + \frac{R\,\theta\,B}{v^{2}}\Bigr)\frac{dv}{d\theta} = R\Bigl(1+\frac{B}{v}\Bigr) + \frac{R\,\theta}{v}\,\frac{dB}{d\theta}.

Passo 5

Usamos a própria equação de estado para substituir
P = \frac{R\,\theta\,(v+B)}{v^{2}}.
Então
P + \frac{R\,\theta\,B}{v^{2}} = \frac{R\,\theta\,(v+B)}{v^{2}} + \frac{R\,\theta\,B}{v^{2}} = \frac{R\,\theta\,(v+2B)}{v^{2}}.
Logo
\frac{dv}{d\theta} = \frac{R\bigl(1+\tfrac{B}{v}\bigr) + \tfrac{R\,\theta}{v}\,\tfrac{dB}{d\theta}} {\tfrac{R\,\theta\,(v+2B)}{v^{2}}} = \frac{R\,\frac{v+B}{v} + R\,\theta\,\frac{dB}{d\theta}\,\frac{1}{v}} {\frac{R\,\theta\,(v+2B)}{v^{2}}}.
Multiplicando numerador e denominador por v:
\frac{dv}{d\theta} = \frac{R\,(v+B) + R\,\theta\,\frac{dB}{d\theta}} {\frac{R\,\theta\,(v+2B)}{v}} = \frac{v\bigl(v+B + \theta\,\tfrac{dB}{d\theta}\bigr)} {\theta\,(v+2B)}.

Passo 6

Finalmente,
\beta = \frac{1}{v}\,\frac{dv}{d\theta} = \frac{1}{v}\;\frac{v\bigl(v+B + \theta\,\tfrac{dB}{d\theta}\bigr)}{\theta\,(v+2B)} = \frac{1}{\theta}\,\frac{v + B + \theta\,\tfrac{dB}{d\theta}}{v + 2B}.

Resposta

\beta \;=\; \frac{1}{\theta}\,\frac{v + B + \theta\,\displaystyle\frac{dB}{d\theta}}{v + 2B}\,.

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