3.2 Calcule o trabalho realizado por um mol de gás durante uma expansão isotérmica quase estática, desde um volume inicial v_{i} até um volume final v_{f}, quando a equação de estado for:
\begin{aligned} P(v-b)=R \theta & (R, b=\text { constante }) \\ P v=R \theta\left(1-\frac{B}{v}\right) & {[R=\text { constante } ; B=f(\theta)] } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um mol de gás em expansão isotérmica quase estática, de um volume inicial v_i a um volume final v_f. Vamos usar a definição de trabalho em um processo quase estático:
W = \int_{v_i}^{v_f} P\,dv
e aplicar essa integral a duas equações de estado diferentes:
  1. P\,(v - b) = R\,\theta, com b constante.
  2. P\,v = R\,\theta\Bigl(1 - \tfrac{B}{v}\Bigr), com B=f(\theta).

Passo 2

Para o caso 1, isolamos a pressão:
P = \frac{R\,\theta}{v - b}.
Então o trabalho é
W = \int_{v_i}^{v_f} \frac{R\,\theta}{v - b}\,dv.

Passo 3

A integral é direta:
W = R\,\theta \,\Bigl[\ln(v - b)\Bigr]_{v_i}^{v_f} = R\,\theta \,\ln\frac{v_f - b}{v_i - b}.

Passo 4

Para o caso 2, escrevemos
P = \frac{R\,\theta}{v}\Bigl(1 - \frac{B}{v}\Bigr) = R\,\theta\Bigl(\frac{1}{v} - \frac{B}{v^2}\Bigr).
O trabalho fica
W = \int_{v_i}^{v_f} R\,\theta\Bigl(\frac{1}{v} - \frac{B}{v^2}\Bigr)\,dv.

Passo 5

Separamos em duas integrais:
\int_{v_i}^{v_f}\frac{1}{v}\,dv = \ln\frac{v_f}{v_i}, \qquad \int_{v_i}^{v_f}\frac{1}{v^2}\,dv = \Bigl[-\tfrac{1}{v}\Bigr]_{v_i}^{v_f} = \frac{1}{v_i} - \frac{1}{v_f}.
Portanto
W = R\,\theta\Biggl[\ln\frac{v_f}{v_i} + B\Bigl(\frac{1}{v_f}-\frac{1}{v_i}\Bigr)\Biggr].

Resposta

a) \displaystyle W = R\,\theta \,\ln\frac{v_f - b}{v_i - b}.
b) \displaystyle W = R\,\theta\Bigl[\ln\frac{v_f}{v_i} + B\bigl(\tfrac{1}{v_f}-\tfrac{1}{v_i}\bigr)\Bigr].

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