2.3 Uma equação de estado aproximada de um gás real a pressões moderadas é P v=R \theta(1+B / v), onde R é uma constante e B função somente de \theta.
Demonstre que:
\kappa=\frac{1}{P} \cdot \frac{1}{1+B R \theta / P v^{2}} .

Passo 1

O enunciado dá uma equação de estado aproximada para um gás real a pressões moderadas,
P\,v = R\,\theta\Bigl(1 + \frac{B}{v}\Bigr),
onde R é constante, \theta (temperatura) é constante no processo de interesse e B depende só de \theta. Pede-se mostrar que a compressibilidade isoterma
\kappa = -\frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial P}\Bigr)_{\theta}
pode ser escrita como
\kappa = \frac{1}{P}\,\frac{1}{1 + \dfrac{B\,R\,\theta}{P\,v^{2}}}.
Para isso, vamos usar diferenciação implícita da equação de estado, mantendo \theta fixo.

Passo 2

Escrevemos a equação de estado em forma conveniente para diferenciar:
P\,v = R\,\theta + R\,\theta\,\frac{B}{v}.
Note que, como \theta é constante, B é constante na diferenciação.

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a P (com \theta constante), temos
\frac{d}{dP}(P\,v) = \frac{d}{dP}\Bigl(R\,\theta + R\,\theta\,\frac{B}{v}\Bigr).
No lado esquerdo,
\frac{d}{dP}(P\,v) = P\,\frac{dv}{dP} + v.
No lado direito, R\,\theta e B são constantes, logo
\frac{d}{dP}\Bigl(R\,\theta\Bigr) = 0, \quad \frac{d}{dP}\Bigl(R\,\theta\,\frac{B}{v}\Bigr) = R\,\theta\,\bigl(-\tfrac{B}{v^{2}}\bigr)\,\frac{dv}{dP} = -R\,\theta\,\frac{B}{v^{2}}\,\frac{dv}{dP}.

Passo 4

Reunindo os termos:
P\,\frac{dv}{dP} + v = -R\,\theta\,\frac{B}{v^{2}}\,\frac{dv}{dP}.
Colocando os coeficientes de \tfrac{dv}{dP} num lado e isolando \tfrac{dv}{dP}:
\Bigl(P + R\,\theta\,\frac{B}{v^{2}}\Bigr)\,\frac{dv}{dP} + v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dP} = -\frac{v}{P + \dfrac{R\,\theta\,B}{v^{2}}}.

Passo 5

A compressibilidade isoterma é
\kappa = -\frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial P}\Bigr)_{\theta} = -\frac{1}{v}\,\frac{dv}{dP} = \frac{1}{v}\,\frac{v}{P + \dfrac{R\,\theta\,B}{v^{2}}} = \frac{1}{P + \dfrac{R\,\theta\,B}{v^{2}}}.
Fatorando P no denominador:
P + \frac{R\,\theta\,B}{v^{2}} = P\Bigl(1 + \frac{R\,\theta\,B}{P\,v^{2}}\Bigr),
logo
\kappa = \frac{1}{P}\,\frac{1}{1 + \dfrac{B\,R\,\theta}{P\,v^{2}}}.

Resposta

\kappa = \frac{1}{P}\,\frac{1}{1 + \dfrac{B\,R\,\theta}{P\,v^{2}}}.

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