Da equação de estado de um material paramagnético:
mostre que as derivadas parciais
,
obedecem a relação cíclica.
Passo 1
O enunciado dá a equação de estado
onde
,
e
são variáveis e
é uma constante (não depende de
). A tarefa é mostrar que as derivadas parciais
,
e
satisfazem a relação cíclica pedida pelo enunciado (ou seja, o produto cíclico entre essas derivadas dá uma quantidade constante).
Informações relevantes dadas:
- A relação funcional entre as três variáveis é
. -
é constante. - Precisamos calcular derivadas parciais específicas e verificar a relação ciclica entre elas.
Passo 2
Primeiro é conveniente escrever
e
isolados em função das outras variáveis, assim fica mais fácil calcular as derivadas parciais pedidas.
A partir de
podemos resolver para
e para
:
Essas expressões permitem calcular derivadas mantendo a variável apropriada constante.
Passo 3
Calcular
.
Definição/ideia:
é a taxa de variação de
em relação a
quando
é mantida fixa. Usamos a expressão original view com
fixo:
Diferenciando em relação a
com
constante obtemos
Explicação simples: ao tratar
como constante,
é simplesmente uma constante multiplicada por
, então a derivada é
.
Passo 4
Calcular
.
Definição/ideia:
é a taxa de variação de
em relação a
quando
é mantido fixo. Usamos a expressão obtida em Passo 2:
Aqui
é constante, então ao derivar em relação a
obtemos
Interpretação: com
fixo,
é diretamente proporcional a
com coeficiente
.
Passo 5
Calcular
.
Definição/ideia:
é a taxa de variação de
em relação a
quando
é mantido fixo. Usamos a expressão do Passo 2:
Ao derivar em relação a
com
constante,
Podemos também reescrever essa derivada usando
, o que dá
Essa forma é útil para simplificar produtos posteriores.
Passo 6
Agora multiplicamos as três derivadas para verificar a relação cíclica. Usando os resultados dos passos anteriores:
Ao simplificar essa expressão os fatores
se cancelam entre si, restando um único fator numérico.
Passo 7
Interpretação didática e alternativa (identidade geral).
- A identidade cíclica que estamos verificando é uma forma particular da regra geral para variáveis ligadas por uma relação
: para três variáveis relacionadas, vale a identidade
- Uma maneira de ver isso é escrever o diferencial total de
:
Tomando
(isto é, variações com
constante) obtém-se uma expressão para
em termos das derivadas de
. Repetindo o raciocínio para as outras constantes e combinando as razões chega-se à mesma identidade cíclica geral acima. Aplicando essa identidade ao caso concreto dado por
obtemos o resultado numérico que foi mostrado na multiplicação do Passo 6.