Da equação de estado de um material paramagnético:
M=C_{c} \frac{H}{T}
mostre que as derivadas parciais \left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{T}, \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} \mathrm{e}\left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} obedecem a relação cíclica.

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado
M = C_{c}\,\frac{H}{T},
onde M, H e T são variáveis e C_{c} é uma constante (não depende de M,H,T). A tarefa é mostrar que as derivadas parciais
\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{T}, \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} e \left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} satisfazem a relação cíclica pedida pelo enunciado (ou seja, o produto cíclico entre essas derivadas dá uma quantidade constante).
Informações relevantes dadas:
  • A relação funcional entre as três variáveis é \;M = C_{c}\dfrac{H}{T}.
  • C_{c} é constante.
  • Precisamos calcular derivadas parciais específicas e verificar a relação ciclica entre elas.

Passo 2

Primeiro é conveniente escrever H e T isolados em função das outras variáveis, assim fica mais fácil calcular as derivadas parciais pedidas.
A partir de \;M = C_{c}\dfrac{H}{T} podemos resolver para H e para T:
H = \frac{M\,T}{C_{c}} \qquad\text{e}\qquad T = \frac{C_{c}\,H}{M}.
Essas expressões permitem calcular derivadas mantendo a variável apropriada constante.

Passo 3

Calcular \left(\dfrac{\partial M}{\partial H}\right)_{T}.
Definição/ideia: \left(\dfrac{\partial M}{\partial H}\right)_{T} é a taxa de variação de M em relação a H quando T é mantida fixa. Usamos a expressão original view com T fixo:
M = C_{c}\,\frac{H}{T}.
Diferenciando em relação a H com T constante obtemos
\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{T} = C_{c}\,\frac{1}{T} = \frac{C_{c}}{T}.
Explicação simples: ao tratar T como constante, \dfrac{H}{T} é simplesmente uma constante multiplicada por H, então a derivada é C_{c}/T.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{M}.
Definição/ideia: \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} é a taxa de variação de H em relação a T quando M é mantido fixo. Usamos a expressão obtida em Passo 2:
H = \frac{M\,T}{C_{c}}.
Aqui M é constante, então ao derivar em relação a T obtemos
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} = \frac{M}{C_{c}}.
Interpretação: com M fixo, H é diretamente proporcional a T com coeficiente M/C_{c}.

Passo 5

Calcular \left(\dfrac{\partial T}{\partial M}\right)_{H}.
Definição/ideia: \left(\dfrac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} é a taxa de variação de T em relação a M quando H é mantido fixo. Usamos a expressão do Passo 2:
T = \frac{C_{c}\,H}{M}.
Ao derivar em relação a M com H constante,
\left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} = -\frac{C_{c}\,H}{M^{2}}.
Podemos também reescrever essa derivada usando T=\dfrac{C_{c}H}{M}, o que dá
\left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} = -\frac{T}{M}.
Essa forma é útil para simplificar produtos posteriores.

Passo 6

Agora multiplicamos as três derivadas para verificar a relação cíclica. Usando os resultados dos passos anteriores:
\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{T} \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} \left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} = \left(\frac{C_{c}}{T}\right) \left(\frac{M}{C_{c}}\right) \left(-\frac{T}{M}\right).
Ao simplificar essa expressão os fatores \,C_{c}\,,\,T\,,\,M\, se cancelam entre si, restando um único fator numérico.

Passo 7

Interpretação didática e alternativa (identidade geral).
  • A identidade cíclica que estamos verificando é uma forma particular da regra geral para variáveis ligadas por uma relação F(M,H,T)=0: para três variáveis relacionadas, vale a identidade
\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{z} \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_{x} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} = -1.
  • Uma maneira de ver isso é escrever o diferencial total de M:
dM = \left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{T} dH + \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_{H} dT.
Tomando dM=0 (isto é, variações com M constante) obtém-se uma expressão para \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} em termos das derivadas de M. Repetindo o raciocínio para as outras constantes e combinando as razões chega-se à mesma identidade cíclica geral acima. Aplicando essa identidade ao caso concreto dado por \;M = C_{c}\dfrac{H}{T} obtemos o resultado numérico que foi mostrado na multiplicação do Passo 6.

Resposta

\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{T} \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{M} \left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)_{H} = -1

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