A) Equacione a capacidade térmica molar a volume constante, \mathrm{C}_{v, m} de um sistema monoatômico a partir da sua energia interna, à temperatura ambiente.
B) Porque a capacidade térmica difere sob volume constante ou sob pressão constante? Como a entalpia esta relacionada a este comportamento e a energia interna do sistema.
C) Equacione/calcule a capacidade térmica molar a pressão constante, C_{p, m} de um sistema monoatômico à temperatura ambiente.
D) Complete a tabela abaixo e calcule a capacidade térmica molar a volume constante para os gases argônio, dinitrogênio e dióxido de carbono.
E) Explique a origem da tendência do desvio observado entre os valores teóricos experimentais e explique.
\begin{table}
\captionsetup{labelformat=empty}
_{\mathrm{V}, \mathrm{m}} \mathrm{J} . \mathrm{mol}^{-1} . \mathrm{K}^{-1})}
Argônio Dinitrogênio Dióxido de carbono
Equação
Teórico*
Experimental

Passo 1

O enunciado pede para calcular a capacidade térmica molar a volume constante \mathrm{C}_{v,m} de um gás monoatômico a partir da sua energia interna, entender por que \mathrm{C}_{p,m}\neq\mathrm{C}_{v,m} e como a entalpia entra nisso, encontrar \mathrm{C}_{p,m} para o gás monoatômico, preencher uma tabela de \mathrm{C}_{v,m} teórica e experimental para Ar, N_{2} e C O_{2}, e explicar por que há desvio entre valores teóricos e experimentais.

Passo 2

Pela teoria da equipartição, um gás monoatômico tem apenas 3 graus de liberdade de translação. A energia interna molar é
U_m = \frac{3}{2}RT.
Definindo \mathrm{C}_{v,m} = \bigl(\tfrac{\mathrm{d}U_m}{\mathrm{d}T}\bigr)_V, obtemos
\mathrm{C}_{v,m} = \frac{3}{2}R.

Passo 3

Sob pressão constante, parte do calor vai em trabalho de expansão p\,\mathrm{d}V. Como a entalpia molar é
H_m = U_m + pV = U_m + RT,
temos
\mathrm{C}_{p,m} = \Bigl(\frac{\mathrm{d}H_m}{\mathrm{d}T}\Bigr)_p = \frac{\mathrm{d}U_m}{\mathrm{d}T} + R = \mathrm{C}_{v,m} + R.
Essa diferença surge justamente porque em \mathrm{C}_{p,m} temos calor para aumentar U e para vencer o trabalho de expansão.

Passo 4

Para o monoatômico:
\mathrm{C}_{p,m} = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R.
Numericamente, com R=8{,}314~\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
\mathrm{C}_{v,m} = \frac{3}{2}R \approx 12{,}47~\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, \quad \mathrm{C}_{p,m} = \frac{5}{2}R \approx 20{,}79~\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 5

Para a tabela de \mathrm{C}_{v,m} a volume constante:
– Argônio é monoatômico f=3, portanto \mathrm{C}_{v,m}=\tfrac{3}{2}R.
– Dinitrogênio e dióxido de carbono são moléculas lineares ( f=3 trans +2 rot =5), então em teoria não incluem modos vibracionais não excitados e têm \mathrm{C}_{v,m}=\tfrac{5}{2}R.
– Experimentalmente, C O_{2} exibe valor maior porque alguns modos vibracionais já começam a ser ativados a temperatura ambiente e há também efeitos de não idealidade.

Resposta

A) \mathrm{C}_{v,m}=\dfrac{3}{2}R.
B) Porque em situação isobárica há calor gasto em trabalho de expansão p\,\mathrm{d}V; a entalpia H=U+ pV incorpora esse R extra, resultando em \mathrm{C}_{p,m}=\mathrm{C}_{v,m}+R.
C) \mathrm{C}_{p,m}=\dfrac{5}{2}R.
D)
Argônio Dinitrogênio Dióxido de carbono
Equação \tfrac{3}{2}R \tfrac{5}{2}R \tfrac{5}{2}R
Teórico* (J/mo l\cdot K) 12,47 20,79 20,79
Experimental (J/mo l\cdot K) 12,47 20,78 28,46
E) O desvio em C O_{2} deve-se à ativação parcial de modos vibracionais (cada modo vibra ­tórico contribui com R a mais se completamente excitado) e aos efeitos de não idealidade presentes em gases reais a 1 atm e 298 K.

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