A) Esboce em dois gráficos a expansão isotérmica de um gás ideal até uma pressão externa, \mathrm{P}_{\text {ext }} e volume, \mathrm{V}_{2}, via um processo reversível e via um processo irreversível.
B) Identifique as regiões que descrevem o trabalho transferido em cada processo no item A.
C) Equacione procedimento de cálculo para o trabalho em cada processo. Compare qualitativamente os valores a serem obtidos nestes procedimentos.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a expansão isotérmica de um gás ideal de um estado inicial (P_{1},V_{1}) até um estado final (P_{\text{ext}},V_{2}) em dois trajetos: um reversível (onde a pressão interna do gás acompanha sempre a isoterma) e um irreversível contra pressão externa constante P_{\text{ext}}. O conteúdo é termodinâmica de gases ideais (trabalho em P–V), e vamos precisar do contraste entre
  1. curva isotérmica:
P(V)=\frac{nRT}{V},
  1. processo irreversível a P_{\text{ext}} constante,
    e das fórmulas de trabalho
W=\int P\,dV.

Passo 2

Para o processo reversível desenhamos no diagrama P V a isoterma hiperbólica que parte de (V_{1},P_{1}) e decresce suavemente até (V_{2},P_{2}) com
P_{2} = \frac{nRT}{V_{2}} = P_{\text{ext}}.
Para o processo irreversível contra pressão externa fixa, traçamos uma reta horizontal em P=P_{\text{ext}} que vai de V_{1} a V_{2}.

Passo 3

A área sob cada curva entre V_{1} e V_{2} representa o trabalho realizado pelo gás (assumindo convensão positiva quando o gás realiza trabalho).
  • No reversível, essa área é a região sob a isoterma P=nRT/V.
  • No irreversível, é a região sob a reta P=P_{\text{ext}}.

Passo 4

Escrevendo o trabalho em cada caso:
Para o processo reversível
W_{\text{rev}} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT \ln\!\biggl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\biggr).
Para o processo irreversível
W_{\text{irr}} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{ext}}\,dV = P_{\text{ext}}\,(V_{2}-V_{1}).

Passo 5

Comparação qualitativa: como em todo instante do reversível a pressão interna P=nRT/V é maior que a pressão externa média que o gás “enfrenta” no irreversível, a área sob a isoterma (e portanto W_{\text{rev}}) é maior que a área sob a linha horizontal. Logo, para expansão
W_{\text{rev}}>W_{\text{irr}}.

Resposta

Para expansão isotérmica de V_{1} a V_{2}: W_{\text{rev}} = nRT\ln\!\bigl(V_{2}/V_{1}\bigr) W_{\text{irr}} = P_{\text{ext}}\,(V_{2}-V_{1})
e qualitativamente
W_{\text{rev}}>W_{\text{irr}}.

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