Em uma sistema gás ideal, relacione a distribuição da \mathrm{E}_{\kappa} e o princípio da eqüipartição da energia. Qual o efeito da temperatura ambiente (baixas temperaturas) sobre a ocupação efetiva dos níveis de energia disponíveis?

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a distribuição de energia de um gás ideal – isto é, a função de Maxwell–Boltzmann para energia cinética, que chamamos aqui de \mathrm{E}_{\kappa} – com o princípio da equipartição da energia. Em seguida, devemos discutir como, a temperaturas ambientes (isto é, relativamente baixas, onde kT é pequeno), muda a ocupação efetiva dos níveis de energia disponíveis.

Passo 2

A função de distribuição de energia cinética em um gás ideal monomolecular (Maxwell–Boltzmann) é
f(E)\,\mathrm{d}E = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\;\frac{1}{(kT)^{3/2}}\;E^{1/2}\;\exp\!\bigl(-E/(kT)\bigr)\,\mathrm{d}E,
onde E é a energia cinética de uma partícula e kT a energia térmica. Essa é a “ \mathrm{E}_{\kappa}” que descreve a probabilidade de uma partícula ter energia entre E e E+\mathrm{d}E.

Passo 3

O princípio da equipartição afirma que, para cada grau de liberdade de energia quadrática (por exemplo, cada componente de velocidade na translação), a energia média é
\langle E_{\rm grau}\rangle = \tfrac12\,kT.
Num gás monatomicamente ideal em três dimensões, há três graus de liberdade de translação, portanto
\langle E_{\rm cin}\rangle = \frac32\,kT.
Essa média se obtém integrando E\,f(E) de 0 a \infty.

Passo 4

A ligação entre a distribuição f(E) e a equipartição é que a forma exponencial \exp(-E/kT) garante que, quando computamos
\langle E\rangle =\int_{0}^{\infty}E\,f(E)\,\mathrm{d}E,
o resultado seja exatamente \tfrac32\,kT. Ou seja, a própria forma de f(E) incorpora o princípio de que cada grau quadraticamente dependente da velocidade contribui com kT/2 para a energia média.

Passo 5

Em temperaturas ambientes (isto é, quando kT é pequeno na escala dos espaçamentos entre níveis quânticos internos, como rotações ou vibrações), a distribuição
f(E)\propto E^{1/2}e^{-E/(kT)}
fica fortemente concentrada em energias baixas. Os níveis de energia interna cuja diferença \Delta E\gg kT permanecem quase não ocupados, pois a fração populacional num nível \Delta E acima do mínimo cai como
\exp\!\bigl(-\Delta E/(kT)\bigr)\ll1.
Na prática, graus de liberdade cujo espaçamento quântico \Delta E excede várias vezes kT “congelam” e não contribuem para a capacidade calorífica nem para equipartição.

Resposta

Em um gás ideal, a distribuição de energia cinética
f(E)\propto E^{1/2}\exp\!\bigl(-E/(kT)\bigr)
leva ao resultado médio \langle E\rangle=\tfrac32\,kT, em acordo com o princípio da equipartição ( \tfrac12\,kT por grau de liberdade quadrático). A temperaturas ambientes, onde kT é pequeno em relação ao espaçamento quântico \Delta E de modos internos (rotacionais, vibracionais etc.), os níveis de energia com \Delta E\gg kT praticamente não são ocupados, “congelando” esses graus de liberdade e reduzindo a contribuição efetiva deles à energia do sistema.

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