Em uma sistema gás ideal, relacione a distribuição da
e o princípio da eqüipartição da energia. Qual o efeito da temperatura ambiente (baixas temperaturas) sobre a ocupação efetiva dos níveis de energia disponíveis?
Passo 1
O enunciado pede para relacionar a distribuição de energia de um gás ideal – isto é, a função de Maxwell–Boltzmann para energia cinética, que chamamos aqui de
– com o princípio da equipartição da energia. Em seguida, devemos discutir como, a temperaturas ambientes (isto é, relativamente baixas, onde
é pequeno), muda a ocupação efetiva dos níveis de energia disponíveis.
Passo 2
A função de distribuição de energia cinética em um gás ideal monomolecular (Maxwell–Boltzmann) é
onde
é a energia cinética de uma partícula e
a energia térmica. Essa é a “
” que descreve a probabilidade de uma partícula ter energia entre
e
.
Passo 3
O princípio da equipartição afirma que, para cada grau de liberdade de energia quadrática (por exemplo, cada componente de velocidade na translação), a energia média é
Num gás monatomicamente ideal em três dimensões, há três graus de liberdade de translação, portanto
Essa média se obtém integrando
de
a
.
Passo 4
A ligação entre a distribuição
e a equipartição é que a forma exponencial
garante que, quando computamos
o resultado seja exatamente
. Ou seja, a própria forma de
incorpora o princípio de que cada grau quadraticamente dependente da velocidade contribui com
para a energia média.
Passo 5
Em temperaturas ambientes (isto é, quando
é pequeno na escala dos espaçamentos entre níveis quânticos internos, como rotações ou vibrações), a distribuição
fica fortemente concentrada em energias baixas. Os níveis de energia interna cuja diferença
permanecem quase não ocupados, pois a fração populacional num nível
acima do mínimo cai como
Na prática, graus de liberdade cujo espaçamento quântico
excede várias vezes
“congelam” e não contribuem para a capacidade calorífica nem para equipartição.
Resposta
Em um gás ideal, a distribuição de energia cinética
leva ao resultado médio
, em acordo com o princípio da equipartição (
por grau de liberdade quadrático). A temperaturas ambientes, onde
é pequeno em relação ao espaçamento quântico
de modos internos (rotacionais, vibracionais etc.), os níveis de energia com
praticamente não são ocupados, “congelando” esses graus de liberdade e reduzindo a contribuição efetiva deles à energia do sistema.