Escreva equações análogas à Equação (5.5a) para a diferencial exata da energia interna, du, em função de cada um dos seguintes conjuntos de variáveis independentes:
u=u(h, s)

Passo 1

Você pede a diferencial exata da energia interna quando tratamos u como função das variáveis independentes h e s, isto é \,u=u(h,s). Informações relevantes que vamos usar (relações termodinâmicas padrão, que considero dadas):
du = T\,ds - p\,dv
h = u + p\,v
dh = T\,ds + v\,dp
Também usarei notação para derivadas parciais:
\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{s},\qquad \left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v},\qquad \left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{s},
e a relação de Maxwell que segue de du=T\,ds-p\,dv:
\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v} = -\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}.

Passo 2

Escrevo a forma geral da diferencial de u quando tomo (h,s) como variáveis independentes. Por definição de função de duas variáveis:
du = \left(\frac{\partial u}{\partial h}\right)_{s}\,dh \;+\; \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h}\,ds.
Nossa meta é achar explicitamente os coeficientes \left(\frac{\partial u}{\partial h}\right)_{s} e \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h} em termos de quantidades termodinâmicas conhecidas ( T,p,v e derivadas de p).

Passo 3

Vamos relacionar as equações conhecidas em termos das variáveis (s,v), porque nelas du e dh já estão expressas:
du = T\,ds - p\,dv,
dh = T\,ds + v\,dp.
Expresso dp como diferencial em (s,v):
dp = \left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\,ds + \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}\,dv.
Substituo isso em dh:
dh = T\,ds + v\left[ \left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\,ds + \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}\,dv \right].
Assim agrupando termos:
dh = \Bigg(T + v\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Bigg) ds \;+\; v\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{s} dv.

Passo 4

Agora isolamos dv em função de dh e ds. Da última igualdade:
v\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}\,dv = dh - \Bigg(T + v\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Bigg) ds.
Portanto
dv = \frac{dh - \Big(T + v\left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Big) ds}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}.
Esta expressão permite eliminar dv da expressão de du.

Passo 5

Substituo dv na expressão du = T\,ds - p\,dv:
du = T\,ds \;-\; p\cdot \frac{dh - \Big(T + v\left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Big) ds}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}.
Agora organizo em função de dh e ds:
du = -\frac{p}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}\,dh \;+\; \left[ T \;+\; \frac{p\Big(T + v\left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Big)}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}} \right] ds.
Dessa forma identificamos os coeficientes parciais desejados:
\left(\frac{\partial u}{\partial h}\right)_{s} = -\frac{p}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}},
\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h} = T \;+\; \frac{p\Big(T + v\left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Big)}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}.

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando a relação de Maxwell mencionada:
\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{v} = -\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}.
Substituindo isso em \left(\dfrac{\partial u}{\partial s}\right)_h obtemos a forma alternativa
\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h} = T \;+\; \frac{p\Big(T - v\left(\dfrac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}\Big)}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}.
Ambas as formas (com \partial p/\partial s ou com \partial T/\partial v) são corretas e úteis conforme as quantidades conhecidas no problema.

Resposta

du = \left(\frac{\partial u}{\partial h}\right)_{s}\,dh + \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h}\,ds
\left(\frac{\partial u}{\partial h}\right)_{s} = -\frac{p}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}
\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h} = T \;+\; \frac{p\Big(T + v\left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}\Big)}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}
ou, usando a relação de Maxwell \left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{v}=-\left(\dfrac{\partial T}{\partial v}\right)_{s},
\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{h} = T \;+\; \frac{p\Big(T - v\left(\dfrac{\partial T}{\partial v}\right)_{s}\Big)}{v\left(\dfrac{\partial p}{\partial v}\right)_{s}}.

Exercícios relacionados