Escreva equações análogas à Equação (5.5a) para a diferencial exata da energia interna, du, em função de cada um dos seguintes conjuntos de variáveis independentes:
u=u(T, s)

Passo 1

O enunciado diz que a energia interna específica é dada por \,u=u(T,s)\,. A tarefa é escrever a diferencial exata \,du\, em função das variáveis independentes \,T e \,s, isto é, obter uma fórmula análoga à Equação (5.5a) mas com as variáveis T e s.
Informações relevantes que temos: \,u é função de duas variáveis independentes T e s (temperatura e entropia específica). Não nos foi dada explicitamente a dependência de v (volume específico), mas sabemos que nas relações termodinâmicas aparece v e a pressão p.

Passo 2

Lembra do referido resultado fundamental (que vamos usar como ponto de partida): para um sistema simples compressível a diferencial da energia interna específica escreve-se
du = T\,ds - p\,dv.
Expliquei isso rapidinho: aqui \,T é a temperatura absoluta, \,s a entropia específica, \,p a pressão e \,v o volume específico. Essa é a forma “natural” quando as variáveis independentes são (s,v). Mas como o enunciado pede \,u(T,s), precisamos reescrever \,du em termos de \,dT e \,ds.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para uma função de duas variáveis, se \,u=u(T,s) então
du = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{s} dT + \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{T} ds.
Aqui \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{s} é a razão de variação de u com T mantendo s fixo; e \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{T} é a razão de variação de u com s mantendo T fixo. Nosso objetivo é expressar esses coeficientes em termos de quantidades termodinâmicas conhecidas.

Passo 4

Como a forma fundamental envolve dv, vamos escrever o diferencial de v em termos de dT e ds. Assumimos que v pode ser visto como função de (T,s), isto é, v=v(T,s). Aplicando a regra da cadeia obtemos
dv = \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{s} dT + \left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)_{T} ds.
Explico: essas derivadas parciais de v indicam como o volume específico muda com T a s fixo e com s a T fixo.

Passo 5

Agora substituímos \,dv na expressão fundamental \,du = T\,ds - p\,dv. Fazendo isso passo a passo:
du = T\,ds - p\left[ \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{s} dT + \left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)_{T} ds \right].
Distribuindo o -p temos
du = -p\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{s} dT + \left[\,T - p\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)_{T}\right] ds.

Passo 6

Comparando com a forma da regra da cadeia ( \,du = (\partial u/\partial T)_{s} dT + (\partial u/\partial s)_{T} ds\!), identificamos explicitamente os coeficientes parciais desejados:
\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{s} = -p\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{s} \qquad\text{e}\qquad \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{T} = T - p\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)_{T}.
Interpretação rápida: o coeficiente de dT envolve como o volume muda com T a s fixo (multiplicado por -p), e o coeficiente de ds é a temperatura corrigida pelo termo de pressão vezes a sensibilidade de v a s.

Resposta

du = -p\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{s} dT + \left[\,T - p\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)_{T}\right] ds
\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{s} = -p\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{s},\qquad \left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{T} = T - p\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)_{T}

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