Escreva equações análogas à Equação (5.5a) para a diferencial exata da energia interna, du, em função de cada um dos seguintes conjuntos de variáveis independentes:
Passo 1
O enunciado diz que a energia interna específica é dada por
. A tarefa é escrever a diferencial exata
em função das variáveis independentes
e
, isto é, obter uma fórmula análoga à Equação (5.5a) mas com as variáveis
e
.
Informações relevantes que temos: é função de duas variáveis independentes
e
(temperatura e entropia específica). Não nos foi dada explicitamente a dependência de
(volume específico), mas sabemos que nas relações termodinâmicas aparece
e a pressão
.
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Lembra do referido resultado fundamental (que vamos usar como ponto de partida): para um sistema simples compressível a diferencial da energia interna específica escreve-se
Expliquei isso rapidinho: aqui
é a temperatura absoluta,
a entropia específica,
a pressão e
o volume específico. Essa é a forma “natural” quando as variáveis independentes são
. Mas como o enunciado pede
, precisamos reescrever
em termos de
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para uma função de duas variáveis, se
então
Aqui
é a razão de variação de
com
mantendo
fixo; e
é a razão de variação de
com
mantendo
fixo. Nosso objetivo é expressar esses coeficientes em termos de quantidades termodinâmicas conhecidas.
Passo 4
Como a forma fundamental envolve
, vamos escrever o diferencial de
em termos de
e
. Assumimos que
pode ser visto como função de
, isto é,
. Aplicando a regra da cadeia obtemos
Explico: essas derivadas parciais de
indicam como o volume específico muda com
a
fixo e com
a
fixo.
Passo 5
Agora substituímos
na expressão fundamental
. Fazendo isso passo a passo:
Distribuindo o
temos
Passo 6
Comparando com a forma da regra da cadeia (
), identificamos explicitamente os coeficientes parciais desejados:
Interpretação rápida: o coeficiente de
envolve como o volume muda com
a
fixo (multiplicado por
), e o coeficiente de
é a temperatura corrigida pelo termo de pressão vezes a sensibilidade de
a
.