Uma esfera oca com raio externo R feita de alumínio ( 2,70 g / cm^3 de densidade), para que ela possa flutuar com metade de volume submerso em água, seu raio interno deve ser:
A) 0,250 R;
B) 1,12 R;
C) 0,934 R;
D) 0,511 R;
E) 1,47 R.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos: uma casca esférica de alumínio (densidade rho!Al=2,70rm g/cm^3) com raio externo R e raio interno desconhecido r. A curiosidade é que ela boia com metade do volume do corpo para fora da água, ou seja, metade submersa. A matéria aqui é empuxo (Princípio de Arquimedes) e equilíbrio de forças (peso = empuxo). Vamos precisar:
  1. volume da casca ( V!Al=Vext-Vint),
  2. peso do alumínio ( P=rhoAlV!Alg),
  3. empuxo da água ( E=rhoáguaVsubgá),
  4. igualar P=E e resolver para r.

Passo 2

Teoria rápida:
  • Volume de esfera: V=tfrac43pi R^3.
  • Para casca oca: V!Al=tfrac43pi(R^3-r^3).
  • Princípio de Arquimedes diz que empuxo E=rhoágua;Vsub,gá.
  • Como só metade do volume externo está submersa, Vsub=tfrac12cdottfrac43pi R^3.
  • No equilíbrio boia: peso do objeto = empuxo, ou seja rhoAl,V!Al,g ;=;rhoágua,Vsub,gá
    O g cancela dos dois lados.

Passo 3

Vamos montar a equação:
rhoAl,l[tfrac43pi,(R^3 - r^3)r] ;=;rhoágua,l[tfrac12;tfrac43pi,R^3r]á
Cancelamos tfrac43pi em ambos os lados e escrevemos as densidades (em g/cm³):
2,70,(R^3 - r^3);=;1,00;times;tfrac12,R^3
Isso dá
2,70,(R^3 - r^3);=;0,5,R^3
R^3 - r^3 ;=;0,52,70;R^3;=;0,185185;R^3
r^3 = R^3l(1 - 0,185185r)=0,814815,R^3
Então
r = R;raiz[3]0,814815approx0,934,R

Resposta

O raio interno deve ser aproximadamente 0,934,R. Portanto, a opção correta é a letra C.

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