Estime a massa de VAPOR de n-butano no tanque
Um tanque com 20 ma ^{2} contém 20 \mathrm{~m}^{3} de n-butano líquido em equilíbrio com seu vapor a 243,39 \mathrm{~K}. A pressão de vapor do n-butano, na temperatura fornecida, é de 2,5 bar.
Dados para o n-butano ( T_{c}=425,1 \mathrm{~K}; P c=37,96 \mathrm{bar} ; \omega=0,200 ; M=58,123 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Volume de n-butano líquido no tanque: 20\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Temperatura de equilíbrio: T=243{,}39\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de vapor (pressão do gás no espaço de cabeça): P=2{,}5\\ \mathrm{bar}.
  • Propriedades do n-butano:
    • T_c=425{,}1\\ \mathrm{K},
    • P_c=37{,}96\\ \mathrm{bar},
    • \omega=0{,}200,
    • M=58{,}123\\ \mathrm{g/mol}=0{,}058123\\ \mathrm{kg/mol}.
O que a questão pede:
  • Estimar a massa de vapor de n-butano no tanque (isto é, a massa do vapor que está acima do líquido em equilíbrio).
Informações faltantes e importância:
  • Não foi fornecido o volume do espaço de vapor (volume de cabeça) no tanque — ou seja, o volume total do tanque ou as dimensões que permitiriam calcular o volume disponível ao vapor. Esse volume é essencial porque a massa de vapor depende diretamente do volume ocupado pelo vapor. Sem o volume do vapor não dá para obter um valor numérico da massa.
  • Portanto, não é possível dar um valor numérico final da massa de vapor a não ser que se saiba o volume do vapor no tanque. O que posso fazer: (a) dar a expressão geral que relaciona massa de vapor com o volume de vapor; (b) estimar a densidade do vapor (massa por metro cúbico) no estado dado usando uma equação de estado real (explicarei e mostrarei as contas). Assim, com a densidade por metro cúbico obtida, basta multiplicar pelo volume de vapor real do tanque para achar a massa.

Passo 2

Estratégia e fórmulas básicas — explicando do zero, passo a passo.
  1. Relação geral que queremos: a massa de vapor m é a densidade do vapor \rho vezes o volume do vapor V_{\text{vap}}:
m = \rho \, V_{\text{vap}}.
Aqui:
  • m em \mathrm{kg},
  • \rho em \mathrm{kg/m^{3}},
  • V_{\text{vap}} em \mathrm{m^{3}}.
  1. Como obter \rho? Podemos usar a lei dos gases ideais ou uma equação de estado real. Para um gás real em condições de pressões e temperaturas próximas à saturação, é melhor corrigir pelo fator de compressibilidade Z. A forma prática é:
\rho = \frac{n}{V}\,M = \frac{P M}{Z R T},
onde:
  • P é a pressão absoluta do vapor (em mesmo sistema de unidades que R),
  • M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol}),
  • R é a constante dos gases (em unidades compatíveis),
  • T é a temperatura absoluta,
  • Z é o fator de compressibilidade (adimensional).
Explicação didática do que é Z:
  • Se o gás fosse ideal, Z=1 e \rho = PM/(RT).
  • Para gases reais, Z corrige a relação porque interações intermoleculares e volumes finitos das moléculas mudam P, T, V reais. Z geralmente é obtido experimentalmente (tabelas/gráficos) ou previsto por uma equação de estado (como Peng–Robinson, SRK etc.). Aqui vamos estimar Z com a equação de Peng–Robinson (PR), que é adequada para hidrocarbonetos como n-butano.
  1. Passos para calcular \rho com Peng–Robinson (resumo):
  • calcular parâmetros a e b (funções de T_c,P_c,\omega e T);
  • formar os parâmetros adimensionais A e B para a condição P,T;
  • resolver a equação cúbica em Z da forma padrão da PR;
  • obter \rho por \rho = P M/(Z R T).
Vou executar isso numericamente (mostrando cada fórmula e explicando as variáveis) para obter \rho (massa por metro cúbico) do vapor na condição dada. Depois você só multiplica por V_{\text{vap}} para ter a massa total.

Passo 3

Constantes e preparação de unidades (importante para não errar!).
  • Vou trabalhar com unidades: P em \mathrm{bar}, T em \mathrm{K}, V em \mathrm{m^{3}}, M em \mathrm{kg/mol}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}3144621\times10^{-5}\\ \mathrm{bar\cdot m^{3}/(mol\cdot K)} (essa forma usa bar e m^3).
  • Relembrando os dados numéricos:
    • T=243{,}39\\ \mathrm{K},
    • P=2{,}5\\ \mathrm{bar},
    • T_c=425{,}1\\ \mathrm{K},
    • P_c=37{,}96\\ \mathrm{bar},
    • \omega=0{,}200,
    • M=0{,}058123\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 4

Parâmetros da equação de Peng–Robinson — fórmulas e cálculo passo a passo (a parte “chata” mas necessária).
Peng–Robinson define:
a_c = 0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c},\qquad b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
A dependência com T entra por \alpha(T):
\alpha(T) = \bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr)^{2}, \qquad T_r=\frac{T}{T_c},
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^{2}.
Depois:
a(T) = a_c\,\alpha(T).
Cálculo numérico (apenas números finais arredondados com explicação):
  • T_r = \dfrac{243{,}39}{425{,}1}\approx 0{,}5725.
  • \sqrt{T_r}\approx 0{,}7567.
  • \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}200) - 0{,}26992(0{,}200)^{2} \approx 0{,}6723.
  • \alpha = \bigl(1 + 0{,}6723(1-0{,}7567)\bigr)^{2} \approx 1{,}3542.
  • Usando R=8{,}3144621\times10^{-5},
    • calcula-se a_c \approx 1{,}505\times10^{-5}\\ \mathrm{bar\cdot m^{6}/mol^{2}}.
    • então a(T)=a_c\alpha \approx 2{,}038\times10^{-5}\\ \mathrm{bar\cdot m^{6}/mol^{2}}.
    • e b \approx 7{,}244\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
(essas grandezas são pequenas porque usamos bar e m^3; unidades estão consistentes com a forma do PR).

Passo 5

Formação dos parâmetros adimensionais A e B e equação cúbica em Z.
Definições:
A = \frac{a(T)\,P}{R^{2}T^{2}},\qquad B = \frac{b\,P}{R\,T}.
Cálculos numéricos:
  • A \approx 0{,}1244.
  • B \approx 0{,}008945.
A equação cúbica padrão do PR em termos de Z é:
Z^{3} - (1 - B)Z^{2} + \bigl(A - 3B^{2} - 2B\bigr)Z - \bigl(A B - B^{2} - B^{3}\bigr) = 0.
Substituindo os valores de A e B obtém-se uma cúbica numérica. Essa cúbica tem três raízes reais ou uma real e duas complexas; para as condições de vapor procuramos a raiz correspondente ao estado vapor (a maior raiz real, tipicamente). Resolvida numericamente (usando método numérico de aproximação/iteração ou solução de cúbica), a raiz vapor obtida é aproximadamente:
Z \approx 0{,}870\quad(\text{arredondado}).
Comentários didáticos:
  • Esse Z<1 indica que o vapor real é mais “compressível” comparado ao ideal nesta condição (efeitos intermoleculares e volume molecular finito).
  • Se tivéssemos usado o gás ideal ( Z=1) obteríamos um resultado próximo mas com erro notável (a densidade ideal seria menor aqui).

Passo 6

Cálculo da densidade do vapor (massa por metro cúbico) usando Z obtido.
Fórmula:
\rho = \frac{P\,M}{Z R T}.
Substituindo os valores numéricos (com P=2{,}5\\ \mathrm{bar}, M=0{,}058123\\ \mathrm{kg/mol}, Z\approx0{,}870, R=8{,}3144621\times10^{-5}, T=243{,}39\\ \mathrm{K}):
  • Primeiro calcula-se R T \approx 8{,}3144621\times10^{-5}\times243{,}39 \approx 0{,}020245\\ \mathrm{bar\cdot m^{3}/mol}.
  • Então Z R T \approx 0{,}870\times0{,}020245 \approx 0{,}017607.
  • Finalmente \rho \approx \dfrac{2{,}5\times0{,}058123}{0{,}017607} \approx 8{,}25\\ \mathrm{kg/m^{3}} (arredondado).
Para comparação: se tivéssemos usado o gás ideal ( Z=1),
\rho_{\text{ideal}} = \frac{P M}{R T} \approx 7{,}17\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Ou seja, o cálculo real com PR dá \rho cerca de 15\% maior que o valor ideal — razão a favor de usar a correção real para precisão.

Passo 7

Conclusão prática e o que falta para obter a massa final.
  • A densidade do vapor de n-butano nas condições dadas ( T=243{,}39\\ \mathrm{K}, P=2{,}5\\ \mathrm{bar} ) foi estimada por Peng–Robinson como: \rho \approx 8{,}25\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A massa total de vapor no tanque é então m = \rho \, V_{\text{vap}} \approx 8{,}25\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times V_{\text{vap}}.
  • Como o enunciado não fornece V_{\text{vap}} (volume do espaço de vapor), não é possível calcular um número único para m. É necessário o volume do tanque total (ou a geometria que permita obter o volume de cabeça), ou então a fração/percentual do tanque ocupado por vapor. Se essa informação for fornecida, basta multiplicar por 8{,}25\\ \mathrm{kg/m^{3}} para obter a massa em kg.
Exemplos ilustrativos (hipotéticos — apenas para ficar prático):
  • Se o volume de vapor fosse 1\\ \mathrm{m^{3}}, m\approx 8{,}25\\ \mathrm{kg}.
  • Se o volume de vapor fosse 5\\ \mathrm{m^{3}}, m\approx 41{,}25\\ \mathrm{kg}.
    (Não estou afirmando que esses volumes são reais — são apenas exemplos de uso da densidade calculada.)

Resposta

m = 8{,}25\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times V_{\text{vap}}

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