Um motor ideal de ignição por centelha usa gasolina sem chumbo nas condições de temperatura inicial no processo de compressão de 27^{\circ} \mathrm{C}, pressão de 1 bar e uma relação de compressão de 8,5. Considerando a variação dos valores específicos do ar com a temperatura e sabendo que 1400 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de calor são transferidos no processo de adição de calor, determine:
a) A pressão (kPa) e a temperatura (K) no estado final de cada processo do ciclo.
b) A energia útil do processo ( \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} ).
c) O rendimento térmico.
d) O rendimento térmico considerando uma análise ar-padrão frio. Compare (c) e (d) e discuta.
e) A pressão média efetiva do ciclo ( kPa ).
f) Represente o processo nos diagramas P-v e T-s.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, com todos os dados extraídos e conversões feitas (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
  • Temperatura inicial no ponto 1: \,27^\circ\mathrm{C}. Vou aproximar para \,300\\ \mathrm{K} (diferença de 0{,}15\\ \mathrm{K} é desprezível para este cálculo).
  • Pressão inicial no ponto 1: \,1\\ \mathrm{bar}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Relação de compressão: \,r=8{,}5.
  • Calor fornecido no processo de adição de calor (processo 2\to3, volume constante): \,q_{in}=1400\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalhamos com ar como gás de trabalho; constante dos gases: \,R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
O enunciado pede:
(a) A pressão ( \mathrm{kPa}) e a temperatura ( \mathrm{K}) no estado final de cada processo do ciclo (ou seja, os estados 1, 2, 3 e 4 do ciclo Otto ideal).
(b) A energia útil do processo (isto é, o trabalho líquido por unidade de massa, em \mathrm{kJ/kg}).
(c) O rendimento térmico do ciclo (fração w_{net}/q_{in}).
(d) O rendimento térmico segundo a análise “ar-padrão frio” (cold-air standard, ou seja, cp constante) — comparar (c) e (d) e discutir.
(e) A pressão média efetiva do ciclo (em \mathrm{kPa}).
(f) Representar o processo nos diagramas P\!-\!v e T\!-\!s (vou dar as coordenadas dos pontos e descrever como desenhar).
Observação importante (metodologia):
  • O enunciado pede para considerar a variação dos calores específicos do ar com a temperatura. Vou modelar c_p(T) por uma aproximação linear razoável, que é uma forma simples e que permite integrar as expressões analiticamente:
c_p(T) = a + b\,T
escolhendo valores que reproduzem o comportamento típico do ar entre \sim 300 e \sim 2000\\ \mathrm{K}. Usei
a = 0{,}96\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad b = 1{,}47\times10^{-4}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K^2)}.
Essa escolha dá c_p(300)\approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor usual à temperatura ambiente) e c_p(2000)\approx1{,}25\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor típico para ar quente). Então
c_v(T)=c_p(T)-R=c + b\,T,\qquad c=a-R=0{,}673\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Com essa aproximação, integrais do tipo \int c_p(T)/T\,dT e \int c_v(T)\,dT têm forma analítica (facilitando solução exata/iterativa).
Agora começa a resolução calculada passo a passo.

Passo 2

Processo 1\to2: compressão adiabática reversível (isentrópica). Objetivo: achar \,T_2 e \,P_2.
Teoria e fórmulas usadas:
  • Para isentrópico com c_p(T)=a+bT temos a condição de conservação de entropia entre estados 1 e 2:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT - R\ln\!\Big(\frac{P_2}{P_1}\Big) = 0.
  • Com c_p(T)=a+bT a integral é
\int_{T_1}^{T_2}\frac{a+bT}{T}\,dT = a\ln\!\Big(\frac{T_2}{T_1}\Big) + b\,(T_2-T_1).
  • Relação de estado ideal e geometria do ciclo (v1/v2 = r): da equação de estado,
\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{v_1}{v_2} = r\cdot\frac{T_2}{T_1}.
  • Substituindo na condição isentrópica obtemos a equação a resolver para T_2:
(a-R)\ln\!\Big(\frac{T_2}{T_1}\Big) + b\,(T_2-T_1) - R\ln r = 0.
Definindo c=a-R=0{,}673\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, R=0{,}287, b=1{,}47\times10^{-4}, T_1=300\\ \mathrm{K} e r=8{,}5.
Resolução numérica (solução da equação não-linear, feita por aproximação iterativa aqui):
  • Calcule R\ln r = 0{,}287\cdot\ln(8{,}5)=0{,}6144\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Resolvida a equação por tentativa (explico rápido a ideia: chute inicial usando T_2\approx T_1 r^{\gamma-1} com \gamma\approx1{,}4, depois refinar), obtém-se:
T_2 \approx 687\\ \mathrm{K}.
Agora, a partir do estado 2:
P_2 = P_1 \cdot r\cdot\frac{T_2}{T_1} = 100\\ \mathrm{kPa}\cdot 8{,}5\cdot\frac{687}{300}\approx 1\,946,7\\ \mathrm{kPa}.
Comentário prático: a conta acima incorporou a variação de c_p na relação isentrópica — passo importante porque c_p aumenta com T e altera T_2 em relação ao valor obtido assumindo c_p constante.

Passo 3

Processo 2\to3: adição de calor a volume constante (combustão idealizada). Objetivo: achar T_3 e P_3.
Teoria e fórmulas usadas:
  • Em processo a volume constante, o calor por unidade de massa é
q_{in}=\int_{T_2}^{T_3} c_v(T)\,dT.
  • Com c_v(T)=c + bT a integral é
q_{in} = c\,(T_3-T_2) + \tfrac{1}{2} b\,(T_3^2-T_2^2).
  • Temos q_{in}=1400\\ \mathrm{kJ/kg} dado; T_2 já calculado.
Substituindo valores e resolvendo a equação quadrática em T_3:
  • Parâmetros numéricos: c=0{,}673, b=1{,}47\times10^{-4}, T_2=687\\ \mathrm{K}.
  • Monta-se a equação
\tfrac{1}{2}b\,T_3^2 + c\,T_3 -\Big(\tfrac{1}{2}b\,T_2^2 + c\,T_2 + q_{in}\Big)=0,
cuja solução física (raiz positiva adequada) dá
T_3 \approx 2\,264\\ \mathrm{K}.
Agora a pressão P_3 (processo a volume constante => v_3=v_2, logo P_3\propto T_3):
P_3 = P_2\cdot\frac{T_3}{T_2} \approx 1\,946{,}7\\ \mathrm{kPa}\cdot\frac{2\,264}{687}\approx 6\,413{,}6\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Processo 3\to4: expansão adiabática reversível (isentrópica). Objetivo: achar T_4 e P_4.
Teoria e fórmulas usadas:
  • Igual à análise do passo 2, mas agora entre 3 e 4; relação volumétrica: v_3/v_4 = v_2/v_1 = 1/r.
  • Com P = R T / v segue
\frac{P_4}{P_3} = \frac{T_4}{T_3}\cdot\frac{v_3}{v_4} = \frac{T_4}{T_3}\cdot\frac{1}{r}.
  • Condição isentrópica (s4 = s3) com c_p(T)=a+bT leva à equação
c\ln\!\Big(\frac{T_4}{T_3}\Big) + b\,(T_4-T_3) + R\ln r = 0.
(atenção ao sinal do termo com \ln r; desta vez aparece com sinal positivo por causa da razão volumétrica no processo de expansão.)
Resolução numérica:
  • Substituindo c=0{,}673,\\ b=1{,}47\times10^{-4},\\ R\ln r=0{,}6144,\\ T_3=2264\\ \mathrm{K} e resolvendo (por tentativa/interpolação) obtém-se
T_4 \approx 1\,156\\ \mathrm{K}.
Pressão P_4 pela relação P_4 = P_3\cdot\frac{T_4}{T_3}\cdot\frac{1}{r}:
P_4 \approx 6\,413{,}6\\ \mathrm{kPa}\cdot\frac{1\,156}{2\,264}\cdot\frac{1}{8{,}5}\approx 385{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Verificação rápida: o processo 4\to1 é rejeição de calor a volume constante; então P_1 = P_4\cdot\frac{T_1}{T_4} deve dar 100\\ \mathrm{kPa}, o que confirma consistência numérica.

Passo 5

Calcular a energia útil do processo (trabalho líquido por kg) e o rendimento térmico.
Teoria:
  • Trabalho líquido por unidade de massa: w_{net}=q_{in}-q_{out}, onde q_{out} é o calor rejeitado no processo a volume constante 4\to1:
q_{out}=\int_{T_1}^{T_4} c_v(T)\,dT = c\,(T_4-T_1) + \tfrac{1}{2}b\,(T_4^2-T_1^2).
  • Rendimento térmico: \eta = \dfrac{w_{net}}{q_{in}}.
Cálculos numéricos:
  • Com T_4\approx1156\\ \mathrm{K} e T_1=300\\ \mathrm{K}:
q_{out} = 0{,}673(1156-300) + \tfrac{1}{2}\cdot1{,}47\times10^{-4}\,(1156^2-300^2).
  • Avaliando: q_{out}\approx 667{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Logo
w_{net} = q_{in}-q_{out} = 1400 - 667{,}6 \approx 732{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Rendimento térmico:
\eta = \frac{732{,}4}{1400}\approx 0{,}5231 \quad\text{ou}\quad 52{,}31\%.
Interpretação curta: este é o rendimento calculado com c_p(T) variável (modelo linear usado).

Passo 6

Rendimento térmico na análise “ar-padrão frio” (cold-air standard, cp constante) e comparação.
Teoria (fórmula do ciclo Otto com cp constante):
  • Para o ciclo Otto com calores específicos constantes e razão de compressão r,
\eta_{cold} = 1 - r^{1-\gamma},
onde \gamma=c_p/c_v. Para ar frio normalmente se usa \gamma\approx1{,}4.
Cálculo:
  • r^{\gamma-1}=8{,}5^{0{,}4}\approx2{,}354.
  • Assim
\eta_{cold} = 1 - \frac{1}{2{,}354}\approx 0{,}5752 \quad\text{ou}\quad 57{,}52\%.
Comparação e discussão:
  • Rendimento com c_p(T) variável (resultado do passo 5): \eta\approx52{,}31\%.
  • Rendimento cold-air standard (cp constante): \eta_{cold}\approx57{,}52\%.
  • Conclusão qualitativa: a análise com c_p variável dá rendimento menor. Explicação física simples: com o aquecimento até temperaturas muito altas T_3, o c_p do ar aumenta; para a mesma energia fornecida q_{in}, esse aumento de c_p provoca um aumento de temperatura menos eficiente no sentido termodinâmico (ou seja, parte do calor vai “aumentar a capacidade térmica” do gás quente), alterando relação entre as temperaturas nos processos e reduzindo o trabalho líquido comparado ao caso ideal com c_p constante. Em termos práticos, a fórmula simples do Otto superestima um pouco o rendimento quando efeitos de variação de c_p são importantes.

Passo 7

Pressão média efetiva do ciclo (pmef).
Teoria:
  • A pressão média efetiva (também chamada pressão média indicada / efetiva) é dada por
\mathrm{PME}=\frac{w_{net}}{v_1-v_2},
onde v_1 é o volume específico no estado 1 e v_2=v_1/r.
Cálculo dos volumes específicos usando estado 1:
v_1=\frac{R T_1}{P_1}=\frac{0{,}287\cdot300}{100}=0{,}861\\ \mathrm{m^3/kg},
v_2=\frac{v_1}{r}=0{,}861/8{,}5\approx0{,}1013\\ \mathrm{m^3/kg}.
Deslocamento específico v_1-v_2\approx0{,}7596\\ \mathrm{m^3/kg}.
Cálculo da PME:
\mathrm{PME}=\frac{732{,}4}{0{,}7596}\approx 964{,}3\\ \mathrm{kPa}.
Observação de unidade: 1\\ \mathrm{kJ/kg}/( \mathrm{m^3/kg}) = 1\\ \mathrm{kJ/m^3} = 1\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Representação dos processos nos diagramas P\!-\!v e T\!-\!s (instruções e coordenadas para desenhar).
Pontos numéricos encontrados (para traçar os diagramas):
  • Estado 1: \,T_1=300\\ \mathrm{K},\\ P_1=100\\ \mathrm{kPa},\\ v_1=0{,}861\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Estado 2: \,T_2\approx687\\ \mathrm{K},\\ P_2\approx1\,946{,}7\\ \mathrm{kPa},\\ v_2\approx0{,}1013\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Estado 3: \,T_3\approx2\,264\\ \mathrm{K},\\ P_3\approx6\,413{,}6\\ \mathrm{kPa},\\ v_3=v_2\approx0{,}1013\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Estado 4: \,T_4\approx1\,156\\ \mathrm{K},\\ P_4\approx385{,}5\\ \mathrm{kPa},\\ v_4=v_1\approx0{,}861\\ \mathrm{m^3/kg}.
Como desenhar:
  • Diagrama P\!-\!v: traçar quatro pontos nas coordenadas acima. O processo 1\to2 é a curva isentrópica de compressão (curva inclinada para cima e à esquerda, pressão sobe forte com volume caindo), 2\to3 é vertical (volume constante, pressão sobe muito), 3\to4 é a expansão isentrópica (curva descendente de P enquanto volume aumenta, de v_2 para v_1), e 4\to1 é vertical (volume constante, pressão cai de P_4 para P_1). A área dentro do ciclo no P\!-\!v é o trabalho líquido por ciclo por unidade de massa (igual a w_{net}).
  • Diagrama T\!-\!s: para desenho, considere variação de entropia: processos isentrópicos ( 1\to2 e 3\to4) são verticais (constante s); processos a volume constante ( 2\to3 e 4\to1) aparecem aproximadamente como horizontais, com 2\to3 movendo-se para a direita (aumento de s) e 4\to1 voltando para a esquerda. Podemos calcular a diferença de entropia no aquecimento:
\Delta s_{2\to3} = \int_{T_2}^{T_3}\frac{c_p(T)}{T}\,dT = a\ln\!\Big(\frac{T_3}{T_2}\Big) + b\,(T_3-T_2).
Com nossos números, \Delta s_{2\to3}\approx 1{,}377\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Assim, se traçar T vertical e s horizontal, o ponto 2 e 1 ficam na mesma abscissa; 2→3 vai para a direita por \approx1{,}377 unidades, 3→4 desce verticalmente (mesma abscissa), 4→1 volta horizontalmente para a esquerda fechando o ciclo.
Essas instruções e coordenadas permitem esboçar corretamente ambos os diagramas.

Resposta

(a) Estado 1: P_1=100\\ \mathrm{kPa},\\ T_1=300\\ \mathrm{K}
(a) Estado 2: P_2\approx1\,946{,}7\\ \mathrm{kPa},\\ T_2\approx687\\ \mathrm{K}
(a) Estado 3: P_3\approx6\,413{,}6\\ \mathrm{kPa},\\ T_3\approx2\,264\\ \mathrm{K}
(a) Estado 4: P_4\approx385{,}5\\ \mathrm{kPa},\\ T_4\approx1\,156\\ \mathrm{K}
(b) Energia útil (trabalho líquido): w_{net}\approx732{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}
(c) Rendimento térmico (com c_p(T) variável): \eta\approx0{,}5231 (ou 52{,}31\%)
(d) Rendimento pela análise ar-padrão frio (cp constante, \gamma=1{,}4): \eta_{cold}\approx0{,}5752 (ou 57{,}52\%). Comparação: o caso com c_p(T) variável dá rendimento menor ( \approx52{,}3\%) que a análise cold-air ( \approx57{,}5\%); isto se deve ao aumento de c_p com a temperatura, que altera as relações termodinâmicas e reduz o trabalho líquido para a mesma energia fornecida.
(e) Pressão média efetiva: \mathrm{PME}\approx964{,}3\\ \mathrm{kPa}
(f) Diagramas P\!-\!v e T\!-\!s: pontos para traçar
  • Estado 1: (v_1\approx0{,}861\\ \mathrm{m^3/kg},\\ P_1=100\\ \mathrm{kPa},\\ T_1=300\\ \mathrm{K})
  • Estado 2: (v_2\approx0{,}1013\\ \mathrm{m^3/kg},\\ P_2\approx1\,946{,}7\\ \mathrm{kPa},\\ T_2\approx687\\ \mathrm{K})
  • Estado 3: (v_3=v_2,\\ P_3\approx6\,413{,}6\\ \mathrm{kPa},\\ T_3\approx2\,264\\ \mathrm{K})
  • Estado 4: (v_4=v_1,\\ P_4\approx385{,}5\\ \mathrm{kPa},\\ T_4\approx1\,156\\ \mathrm{K})
Estas coordenadas permitem desenhar o ciclo Otto: 1\to2 isentrópico (curva), 2\to3 v= const vertical para cima, 3\to4 isentrópico (curva de expansão), 4\to1 v= const vertical para baixo. No T\!-\!s: 1\to2 vertical para cima (isentrópico), 2\to3 horizontal para a direita (aumento de s de \approx1{,}377\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), 3\to4 vertical para baixo (isentrópico), 4\to1 horizontal para a esquerda.

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