Um motor ideal de ignição por centelha usa gasolina sem chumbo nas condições de temperatura inicial no processo de compressão de
, pressão de 1 bar e uma relação de compressão de 8,5. Considerando a variação dos valores específicos do ar com a temperatura e sabendo que
de calor são transferidos no processo de adição de calor, determine:
a) A pressão (kPa) e a temperatura (K) no estado final de cada processo do ciclo.
b) A energia útil do processo (
).
c) O rendimento térmico.
d) O rendimento térmico considerando uma análise ar-padrão frio. Compare (c) e (d) e discuta.
e) A pressão média efetiva do ciclo ( kPa ).
f) Represente o processo nos diagramas P-v e T-s.
a) A pressão (kPa) e a temperatura (K) no estado final de cada processo do ciclo.
b) A energia útil do processo (
c) O rendimento térmico.
d) O rendimento térmico considerando uma análise ar-padrão frio. Compare (c) e (d) e discuta.
e) A pressão média efetiva do ciclo ( kPa ).
f) Represente o processo nos diagramas P-v e T-s.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, com todos os dados extraídos e conversões feitas (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
- Temperatura inicial no ponto 1:
. Vou aproximar para (diferença de é desprezível para este cálculo). - Pressão inicial no ponto 1:
- Relação de compressão:
- Calor fornecido no processo de adição de calor (processo
, volume constante): - Trabalhamos com ar como gás de trabalho; constante dos gases:
O enunciado pede:
(a) A pressão ( ) e a temperatura (
) no estado final de cada processo do ciclo (ou seja, os estados 1, 2, 3 e 4 do ciclo Otto ideal).
(b) A energia útil do processo (isto é, o trabalho líquido por unidade de massa, em ).
(c) O rendimento térmico do ciclo (fração ).
(d) O rendimento térmico segundo a análise “ar-padrão frio” (cold-air standard, ou seja, cp constante) — comparar (c) e (d) e discutir.
(e) A pressão média efetiva do ciclo (em ).
(f) Representar o processo nos diagramas e
(vou dar as coordenadas dos pontos e descrever como desenhar).
(a) A pressão (
(b) A energia útil do processo (isto é, o trabalho líquido por unidade de massa, em
(c) O rendimento térmico do ciclo (fração
(d) O rendimento térmico segundo a análise “ar-padrão frio” (cold-air standard, ou seja, cp constante) — comparar (c) e (d) e discutir.
(e) A pressão média efetiva do ciclo (em
(f) Representar o processo nos diagramas
Observação importante (metodologia):
- O enunciado pede para considerar a variação dos calores específicos do ar com a temperatura. Vou modelar
por uma aproximação linear razoável, que é uma forma simples e que permite integrar as expressões analiticamente:
escolhendo valores que reproduzem o comportamento típico do ar entre
e
. Usei
Essa escolha dá
(valor usual à temperatura ambiente) e
(valor típico para ar quente). Então
- Com essa aproximação, integrais do tipo
e têm forma analítica (facilitando solução exata/iterativa).
Agora começa a resolução calculada passo a passo.
Passo 2
Processo
: compressão adiabática reversível (isentrópica). Objetivo: achar
e
.
Teoria e fórmulas usadas:
- Para isentrópico com
temos a condição de conservação de entropia entre estados 1 e 2:
- Com
a integral é
- Relação de estado ideal e geometria do ciclo (v1/v2 = r): da equação de estado,
- Substituindo na condição isentrópica obtemos a equação a resolver para
:
Definindo
,
,
,
e
.
Resolução numérica (solução da equação não-linear, feita por aproximação iterativa aqui):
- Calcule
- Resolvida a equação por tentativa (explico rápido a ideia: chute inicial usando
com , depois refinar), obtém-se:
Agora, a partir do estado 2:
Comentário prático: a conta acima incorporou a variação de
na relação isentrópica — passo importante porque
aumenta com
e altera
em relação ao valor obtido assumindo
constante.
Passo 3
Processo
: adição de calor a volume constante (combustão idealizada). Objetivo: achar
e
.
Teoria e fórmulas usadas:
- Em processo a volume constante, o calor por unidade de massa é
- Com
a integral é
- Temos
dado; já calculado.
Substituindo valores e resolvendo a equação quadrática em
:
- Parâmetros numéricos:
, , . - Monta-se a equação
cuja solução física (raiz positiva adequada) dá
Agora a pressão
(processo a volume constante =>
, logo
):
Passo 4
Processo
: expansão adiabática reversível (isentrópica). Objetivo: achar
e
.
Teoria e fórmulas usadas:
- Igual à análise do passo 2, mas agora entre 3 e 4; relação volumétrica:
. - Com
segue
- Condição isentrópica (s4 = s3) com
leva à equação
(atenção ao sinal do termo com
; desta vez aparece com sinal positivo por causa da razão volumétrica no processo de expansão.)
Resolução numérica:
- Substituindo
e resolvendo (por tentativa/interpolação) obtém-se
Pressão
pela relação
:
Verificação rápida: o processo
é rejeição de calor a volume constante; então
deve dar
, o que confirma consistência numérica.
Passo 5
Calcular a energia útil do processo (trabalho líquido por kg) e o rendimento térmico.
Teoria:
- Trabalho líquido por unidade de massa:
, onde é o calor rejeitado no processo a volume constante :
- Rendimento térmico:
Cálculos numéricos:
- Com
e :
- Avaliando:
- Logo
- Rendimento térmico:
Interpretação curta: este é o rendimento calculado com
variável (modelo linear usado).
Passo 6
Rendimento térmico na análise “ar-padrão frio” (cold-air standard, cp constante) e comparação.
Teoria (fórmula do ciclo Otto com cp constante):
- Para o ciclo Otto com calores específicos constantes e razão de compressão
,
onde
. Para ar frio normalmente se usa
.
Cálculo:
-
. - Assim
Comparação e discussão:
- Rendimento com
variável (resultado do passo 5): . - Rendimento cold-air standard (cp constante):
. - Conclusão qualitativa: a análise com
variável dá rendimento menor. Explicação física simples: com o aquecimento até temperaturas muito altas , o do ar aumenta; para a mesma energia fornecida , esse aumento de provoca um aumento de temperatura menos eficiente no sentido termodinâmico (ou seja, parte do calor vai “aumentar a capacidade térmica” do gás quente), alterando relação entre as temperaturas nos processos e reduzindo o trabalho líquido comparado ao caso ideal com constante. Em termos práticos, a fórmula simples do Otto superestima um pouco o rendimento quando efeitos de variação de são importantes.
Passo 7
Pressão média efetiva do ciclo (pmef).
Teoria:
- A pressão média efetiva (também chamada pressão média indicada / efetiva) é dada por
onde
é o volume específico no estado 1 e
.
Cálculo dos volumes específicos usando estado 1:
Deslocamento específico
.
Cálculo da PME:
Observação de unidade:
.
Passo 8
Representação dos processos nos diagramas
e
(instruções e coordenadas para desenhar).
Pontos numéricos encontrados (para traçar os diagramas):
- Estado 1:
- Estado 2:
- Estado 3:
- Estado 4:
Como desenhar:
- Diagrama
: traçar quatro pontos nas coordenadas acima. O processo é a curva isentrópica de compressão (curva inclinada para cima e à esquerda, pressão sobe forte com volume caindo), é vertical (volume constante, pressão sobe muito), é a expansão isentrópica (curva descendente de enquanto volume aumenta, de para ), e é vertical (volume constante, pressão cai de para ). A área dentro do ciclo no é o trabalho líquido por ciclo por unidade de massa (igual a ). - Diagrama
: para desenho, considere variação de entropia: processos isentrópicos ( e ) são verticais (constante ); processos a volume constante ( e ) aparecem aproximadamente como horizontais, com movendo-se para a direita (aumento de ) e voltando para a esquerda. Podemos calcular a diferença de entropia no aquecimento:
Com nossos números,
. Assim, se traçar
vertical e
horizontal, o ponto 2 e 1 ficam na mesma abscissa; 2→3 vai para a direita por
unidades, 3→4 desce verticalmente (mesma abscissa), 4→1 volta horizontalmente para a esquerda fechando o ciclo.
Essas instruções e coordenadas permitem esboçar corretamente ambos os diagramas.
Resposta
(a) Estado 1:
(a) Estado 2:
(a) Estado 3:
(a) Estado 4:
(a) Estado 2:
(a) Estado 3:
(a) Estado 4:
(b) Energia útil (trabalho líquido):
(c) Rendimento térmico (com
variável):
(ou
)
(d) Rendimento pela análise ar-padrão frio (cp constante,
):
(ou
). Comparação: o caso com
variável dá rendimento menor (
) que a análise cold-air (
); isto se deve ao aumento de
com a temperatura, que altera as relações termodinâmicas e reduz o trabalho líquido para a mesma energia fornecida.
(e) Pressão média efetiva:
(f) Diagramas
e
: pontos para traçar
- Estado 1:
- Estado 2:
- Estado 3:
- Estado 4:
Estas coordenadas permitem desenhar o ciclo Otto:
isentrópico (curva),
const vertical para cima,
isentrópico (curva de expansão),
const vertical para baixo. No
:
vertical para cima (isentrópico),
horizontal para a direita (aumento de
de
),
vertical para baixo (isentrópico),
horizontal para a esquerda.