A pressão e a temperatura no início da compressão de um ciclo de ar-padrão Diesel são 95 kPa e 300 K , respectivamente. Sabendo que a pressão máxima e a temperatura máxima do ciclo são 7,2 MPa e 2150 K , respectivamente, determine:
a) A taxa de compressão ®.
b) A eficiência térmica.
c) A razão de corte (rc).
d) A eficiência térmica considerando uma análise ar-padrão frio. Compare (b) e (d) e discuta.
e) A pressão média efetiva ( kPa ).
f) Represente o processo nos diagramas P-v e T-s.

Passo 1

O enunciado dá estas informações iniciais (estou pegando estes números do enunciado):
  • Pressão e temperatura no início da compressão: P_1 = 95\\ \text{kPa} e T_1 = 300\\ \text{K}.
  • Pressão máxima do ciclo: P_{\max} = 7{,}2\\ \text{MPa} = 7200\\ \text{kPa}.
  • Temperatura máxima do ciclo: T_{\max} = 2150\\ \text{K}.
O enunciado pede, claramente, estes itens:
(a) a taxa de compressão r (ou seja, r = v_1/v_2);
(b) a eficiência térmica do ciclo;
(c) a razão de corte r_c (ou seja, r_c = v_3/v_2);
(d) a eficiência térmica considerando uma análise ar‑padrão frio; comparar (b) e (d);
(e) a pressão média efetiva (kPa);
(f) representar o processo nos diagramas P- v e T- s (vou dar as coordenadas dos pontos e descrever as formas das curvas).
Informações adicionais que vou usar (valores típicos para ar):
  • Constante do gás para o ar: R = 0{,}287\\ \text{kJ}\!/\!( \text{kg}\cdot\text{K}).
  • Para a análise ar‑padrão frio (valores de c_p e c_v tomados no estado frio/ambiente):
    • c_p = 1{,}005\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}).
    • c_v = c_p - R = 1{,}005 - 0{,}287 = 0{,}718\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Vou assumir razão de calores constante (ar ideal) \gamma = \dfrac{c_p}{c_v} \approx 1{,}4 quando necessário.

Passo 2

Planejamento do método (sem termos técnicos pesados):
  • O ciclo pedido é o ciclo tipo Diesel ideal (compressão isentrópica 1\to2, aquecimento a pressão constante 2\to3, expansão isentrópica 3\to4, rejeição de calor a volume constante 4\to1).
  • Para achar r uso a relação isentrópica entre pressões: numa compressão isentrópica de gás ideal vale \dfrac{P_2}{P_1}=r^{\gamma}. Aqui o ponto de maior pressão é P_2=P_3=P_{\max}, logo posso usar P_2=7200\\ \text{kPa} e P_1=95\\ \text{kPa}. Vou usar \gamma=1{,}4.
  • Para a eficiência térmica do Diesel ideal vou primeiro apresentar a fórmula deduzida a partir do balanço de calor (vou explicar passo a passo na próxima etapa).
  • Para (d) “análise ar‑padrão frio” vou calcular Q_{in} e Q_{out} usando c_p,c_v fixos (valores em Passo 1) e mostrar o valor numérico e comparar com (b).
  • Para a pressão média efetiva ( \text{PME} ou p_{m}) vou calcular o trabalho líquido por unidade de massa e dividir pelo volume deslocado por unidade de massa (v_1-v_2).
  • Vou calcular também as pressões e volumes nos estados 1…4 e os saltos de entropia necessários para esboçar T‑s.

Passo 3

Relação isentrópica entre P e r:
\frac{P_2}{P_1} = r^{\gamma}.
Aqui P_2 = P_3 = 7200\\ \text{kPa} (pressão máxima do ciclo) e P_1 = 95\\ \text{kPa}. Logo
r = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{1/\gamma} = \left(\frac{7200}{95}\right)^{1/1{,}4}.
Calculemos passo a passo:
\frac{7200}{95} \approx 75{,}78947.
r \approx 75{,}78947^{0{,}7142857} \approx 22{,}02.
Portanto a taxa de compressão é aproximadamente r \approx 22{,}02.

Passo 4

Na compressão isentrópica vale também
\frac{T_2}{T_1} = r^{\gamma-1}.
Com T_1=300\\ \text{K}, \gamma-1=0{,}4 e r do passo anterior:
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1} = 300 \cdot 22{,}02^{0{,}4}.
Calculando:
22{,}02^{0{,}4} \approx 3{,}444 \quad\Rightarrow\quad T_2 \approx 300\cdot 3{,}444 \approx 1033{,}2\\ \text{K}.

Passo 5

No processo de aquecimento a pressão constante 2\to3,
\frac{T_3}{T_2} = \frac{v_3}{v_2} = r_c.
Como o enunciado deu T_3 = T_{\max} = 2150\\ \text{K} e temos T_2 do passo anterior:
r_c = \frac{T_3}{T_2} = \frac{2150}{1033{,}2} \approx 2{,}081.

Passo 6

Vou deduzir a fórmula de forma didática, explicando cada termo.
Energia trocada por unidade de massa:
  • Calor fornecido q_{in} (processo a pressão constante 2\to3): para ar ideal com calor específico constante em pressão, q_{in} = c_p\,(T_3 - T_2).
  • Calor rejeitado q_{out} (processo a volume constante 4\to1): q_{out} = c_v\,(T_4 - T_1).
Eficiência térmica:
\eta = 1 - \frac{q_{out}}{q_{in}} = 1 - \frac{c_v (T_4 - T_1)}{c_p (T_3 - T_2)}.
Como \gamma = c_p/c_v, isso vira
\eta = 1 - \frac{1}{\gamma}\cdot\frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}.
Agora usar as relações do ciclo Diesel para escrever T_4, T_3, T_2 em função de T_1, r e r_c:
  • T_2 = T_1 r^{\gamma-1}.
  • T_3 = T_2 r_c = T_1 r^{\gamma-1} r_c.
  • Para a expansão isentrópica 3\to4, usando T v^{\gamma-1}= constante, T_4 = T_3\left(\frac{v_3}{v_4}\right)^{\gamma-1}.Mas v_4 = v_1 (retorno ao volume máximo) e v_3 = r_c v_2 = r_c \frac{v_1}{r}, assim \frac{v_3}{v_4} = \frac{r_c}{r} \quad\Rightarrow\quad T_4 = T_3\left(\frac{r_c}{r}\right)^{\gamma-1}.
Substituindo T_3 e simplificando surge uma identidade conveniente:
T_4 = T_1\, r_c^{\gamma}.
(Explicação rápida: substituindo T_3 = T_1 r^{\gamma-1} r_c e multiplicando por (r_c/r)^{\gamma-1} faz com que os fatores em r se cancelem, sobrando r_c^{\gamma}.)
Agora calcule
T_4 - T_1 = T_1 (r_c^{\gamma} - 1), \qquad T_3 - T_2 = T_1 r^{\gamma-1}(r_c - 1).
Substituindo na fórmula da eficiência:
\eta = 1 - \frac{1}{\gamma}\cdot\frac{T_1 (r_c^{\gamma} - 1)}{T_1 r^{\gamma-1}(r_c - 1)} = 1 - \frac{1}{\gamma}\cdot\frac{r_c^{\gamma} - 1}{r^{\gamma-1}(r_c - 1)}.
Essa é a fórmula padrão da eficiência do ciclo Diesel ideal.
Agora calculo numericamente com \gamma=1{,}4, r=22{,}02 e r_c=2{,}081:
  • Primeiro r^{\gamma-1} = r^{0{,}4} \approx 3{,}444 (já usado).
  • r_c^{\gamma} = 2{,}081^{1{,}4} \approx 2{,}789.
  • Então \eta = 1 - \frac{1}{1{,}4}\cdot\frac{2{,}789 - 1}{3{,}444\cdot(2{,}081 - 1)}.
Calcule os números:
r_c^{\gamma}-1 \approx 1{,}789,\qquad r_c-1 \approx 1{,}081.
\text{denominador} = 1{,}4\cdot 3{,}444\cdot 1{,}081 \approx 5{,}212.
\eta = 1 - \frac{1{,}789}{5{,}212} \approx 1 - 0{,}3433 \approx 0{,}6567.
Portanto a eficiência térmica (análise ideal com \gamma=1{,}4) é aproximadamente \eta \approx 0{,}6567, ou 65{,}67\%.

Passo 7

Na análise ar‑padrão frio fixamos c_p e c_v nos valores do ar frio (valores do Passo 1) e calculamos os calores diretamente:
  • Calor fornecido por unidade de massa: q_{in} = c_p (T_3 - T_2).
  • Calor rejeitado por unidade de massa: q_{out} = c_v (T_4 - T_1).
Já temos T_1=300\\ \text{K}, T_2\approx1033{,}2\\ \text{K}, T_3=2150\\ \text{K} e T_4 = T_1 r_c^{\gamma} \approx 300\cdot 2{,}789 \approx 836{,}7\\ \text{K}.
Calculemos numericamente (unidades: kJ/kg):
q_{in} = 1{,}005\cdot(2150 - 1033{,}2) = 1{,}005\cdot 1116{,}8 \approx 1122{,}38\\ \text{kJ/kg}.
q_{out} = 0{,}718\cdot(836{,}7 - 300) = 0{,}718\cdot 536{,}7 \approx 385{,}46\\ \text{kJ/kg}.
Trabalho líquido por unidade de massa:
w_{net} = q_{in} - q_{out} \approx 1122{,}38 - 385{,}46 \approx 736{,}92\\ \text{kJ/kg}.
Eficiência:
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{736{,}92}{1122{,}38} \approx 0{,}6566 \quad(\approx 65{,}66\%).
Comparação e discussão:
  • O valor obtido nesta análise ar‑padrão frio ( \approx 65{,}66\%) coincide numericamente com o valor encontrado em (b) ( \approx 65{,}67\%), porque em (b) usamos a fórmula do ciclo Diesel ideal que também assume propriedades específicas constantes (o parâmetro \gamma=1{,}4 e relações derivadas). Portanto, não existe diferença numérica significativa entre (b) e (d) quando (b) é calculado sob a hipótese padrão de calor específico constante.
  • Se fôssemos usar uma análise “hot-air” (com c_p(T) dependente de T, isto é, integrando c_p(T) entre as temperaturas reais), a eficiência sofreria pequena alteração, pois c_p cresce com a temperatura e isso mudaria q_{in} e q_{out} de forma não trivial. Geralmente a eficiência calculada com propriedades dependentes da temperatura costuma ser um pouco menor que a previsão de ar‑padrão frio, mas para obter esse efeito é preciso usar tabelas ou polinômios de c_p(T); sem essas tabelas não se pode quantificar a diferença com precisão.

Passo 8

Vou calcular volumes específicos por unidade de massa, usando v = \dfrac{R T}{P} (com P em kPa, R em kJ/(kg·K) e T em K; lembre que 1\\ \text{kJ}=1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3).
  • Estado 1: v_1 = \frac{R T_1}{P_1} = \frac{0{,}287\cdot 300}{95} \approx 0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Estado 2: v_2 = \frac{v_1}{r} \approx \frac{0{,}9063}{22{,}02} \approx 0{,}04118\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Estado 3: v_3 = r_c\, v_2 \approx 2{,}081\cdot 0{,}04118 \approx 0{,}08566\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Estado 4: v_4 = v_1 \approx 0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Verificação/pressões:
  • P_2 = P_3 = 7200\\ \text{kPa} (dado).
  • P_4 pelo gás ideal: P_4 = \frac{R T_4}{v_4} = P_1 \frac{T_4}{T_1} \quad\Rightarrow\quad P_4 = 95\cdot\frac{836{,}7}{300} \approx 265{,}0\\ \text{kPa}.
Resumo numérico dos quatro estados (aprox.):
  • 1: P_1=95\\ \text{kPa}, T_1=300\\ \text{K}, v_1=0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • 2: P_2=7200\\ \text{kPa}, T_2\approx1033{,}2\\ \text{K}, v_2\approx0{,}04118\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • 3: P_3=7200\\ \text{kPa}, T_3=2150\\ \text{K}, v_3\approx0{,}08566\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • 4: P_4\approx265{,}0\\ \text{kPa}, T_4\approx836{,}7\\ \text{K}, v_4\approx0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 9

A pressão média efetiva (PME) é definida por:
p_m = \frac{w_{net}}{v_1 - v_2},
onde w_{net} é o trabalho líquido por unidade de massa (kJ/kg) e v_1-v_2 é o volume deslocado por unidade de massa (m^3/kg). Já temos w_{net}\approx 736{,}92\\ \text{kJ/kg} e v_1-v_2 \approx 0{,}9063 - 0{,}04118 = 0{,}86512\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Calculando:
p_m = \frac{736{,}92}{0{,}86512} \approx 852{,}0\\ \text{kPa}.
Portanto a pressão média efetiva é aproximadamente 852\\ \text{kPa}.

Passo 10

Vou descrever como desenhar e forneço os pontos numéricos para plotar:
Diagrama P- v:
  • Estado 1 \to 2: isentrópico de compressão — curva fechando muito a esquerda (queda grande em v, aumento muito forte em P). Números: de (v_1,P_1)=(0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg},\\\ 95\\ \text{kPa}) a (v_2,P_2)=(0{,}04118,\\\ 7200).
  • Estado 2 \to 3: aquecimento a pressão constante — linha horizontal em P=7200\\ \text{kPa}, de v_2 até v_3=0{,}08566.
  • Estado 3 \to 4: expansão isentrópica — curva de P descendente, de (0{,}08566,\\\ 7200) até (0{,}9063,\\\ 265{,}0).
  • Estado 4 \to 1: rejeição a volume constante — subida vertical em v=v_1 de P_4 até P_1 (note: P_4<P_1 ou P_4>P_1? aqui P_4=265{,}0\\ \text{kPa}>P_1=95\\ \text{kPa}; para Diesel ideal a linha 4→1 é a queda de pressão a volume constante: no nosso caso, v_4=v_1 e o ponto 4 está em pressão 265, o ponto 1 em 95; geometricamente isso fecha o ciclo).
Diagrama T- s:
  • Isentrópico 1\to2: linha vertical (s constante), de T_1=300 até T_2\approx1033{,}2.
  • Aquecimento 2\to3 a pressão constante: curva com T aumentando de 1033{,}2 a 2150 e entropia aumentando. O salto de entropia: \Delta s_{2\to3} = c_p \ln\left(\frac{T_3}{T_2}\right) \approx 1{,}005\ln(2{,}081)\approx 0{,}736\\ \text{kJ/(kg·K)}.
  • Isentrópico 3\to4: linha vertical (s constante), de T_3 para T_4\approx836{,}7.
  • Rejeição 4\to1 a volume constante: entropia diminui de s_4 até s_1 com \Delta s_{4\to1} = c_v \ln\left(\frac{T_1}{T_4}\right) \approx 0{,}718\ln\left(\frac{300}{836{,}7}\right)\approx -0{,}737\\ \text{kJ/(kg·K)}.
(Observe que os módulos dos saltos de entropia na adição e rejeição são iguais dentro do arredondamento, fechando o ciclo.)
Com esses pontos numéricos e formas (duas linhas verticais no T‑s para isentrópicos, uma curva crescente para o aquecimento a pressão constante, uma queda para a rejeição a volume constante), consegue-se o esboço dos diagramas.

Resposta

(a) r \approx 22{,}02
(b) \eta \approx 0{,}6567 (65,67 %)
(c) r_c \approx 2{,}081
(d) \eta_{\text{ar‑padrão frio}} \approx 0{,}6566ã (65,66 %). A análise ar‑padrão frio dá o mesmo valor numérico aqui porque a fórmula do ciclo Diesel ideal usada em (b) também assume calor específico constante; se c_p(T) variável fosse usado, a eficiência típica muda um pouco (normalmente reduz).
(e) p_m \approx 852{,}0\\ \text{kPa}
(f) Pontos principais para desenhar os diagramas:
  • 1: P_1=95\\ \text{kPa},\\ T_1=300\\ \text{K},\\ v_1\approx 0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • 2: P_2=7200\\ \text{kPa},\\ T_2\approx 1033{,}2\\ \text{K},\\ v_2\approx 0{,}04118\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • 3: P_3=7200\\ \text{kPa},\\ T_3=2150\\ \text{K},\\ v_3\approx 0{,}08566\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • 4: P_4\approx 265{,}0\\ \text{kPa},\\ T_4\approx 836{,}7\\ \text{K},\\ v_4\approx 0{,}9063\\ \text{m}^3/\text{kg}.
(Siga a ordem do ciclo: 1→2 isentrópico; 2→3 isóbara; 3→4 isentrópico; 4→1 isocórico — com esses pontos obtém-se os esboços em P- v e T- s.)

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