Ex1. O vapor d’água, inicialmente a 5 bar e 320^{\circ} \mathrm{C}, está contido no interior de um conjunto cilindro-pistão. O vapor d’água é resfriado a volume constante até que sua temperatura atinja 120^{\circ} \mathrm{C}. O fluido de trabalho é então condensado isotermicamente até o estado de líquido saturado. Determine o trabalho e a transferência de calor para o sistema em \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}. Determine também a energia interna para o ponto 2 \mathrm{em} \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem claras:
  • Estado 1: vapor d’água a \;p_1=5\\ \text{bar} e \;T_1=320^\circ\mathrm{C}.
  • Processo 1\to2: resfriamento a volume constante até \;T_2=120^\circ\mathrm{C}.
  • Processo 2\to3: condensação isotérmica (à \;T=120^\circ\mathrm{C}) até líquido saturado (estado 3).
Perguntas pedidas pelo enunciado (o que devemos determinar):
  1. O trabalho por unidade de massa para o sistema (em \mathrm{kJ/kg}) para o processo total (1→3).
  2. A transferência de calor por unidade de massa para o sistema (em \mathrm{kJ/kg}) para o processo total (1→3).
  3. A energia interna no ponto 2 (em \mathrm{kJ/kg}).
Informações adicionais que vamos usar (fornecidas aqui para referência nas contas):
  • Constante do vapor d’água: \;R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Vamos usar propriedades de saturado à \;T=120^\circ\mathrm{C} retiradas das tabelas de vapor (valores indicados explicitamente quando usados):
    \;p_\mathrm{sat}(120^\circ\mathrm{C})=198{,}53\\ \mathrm{kPa}, \;v_f(120^\circ\mathrm{C})=0{,}001060\\ \mathrm{m^3/kg}, \;v_g(120^\circ\mathrm{C})=0{,}89082\\ \mathrm{m^3/kg}, \;u_f(120^\circ\mathrm{C})=504{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}, \;u_g(120^\circ\mathrm{C}) será usada abaixo (indico o valor que utilizei junto com a justificativa metodológica).
Observação: nos pontos superaquecidos (como o ponto 1) usamos aproximação de vapor ideal para obter o volume específico e uma aproximação razoável para a energia interna do ponto 1 (vou explicitar a hipótese e o procedimento quando calcular).

Passo 2

Cálculo do volume específico constante (volume por unidade de massa) usando a condição no estado 1. Explico a fórmula e o que cada termo significa. Para um gás (equação de estado do gás ideal aplicada como aproximação em região superaquecida) vale:
p\,v = R\,T,
onde \;p é a pressão absoluta (em \mathrm{kPa}), \;v é o volume específico (em \mathrm{m^3/kg}), \;R é a constante específica do vapor ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), e \;T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}). Convertendo \;T_1 para Kelvin: \;T_1=320^\circ\mathrm{C}=593{,}15\\ \mathrm{K}. A pressão em kPa é \;p_1=5\\ \text{bar}=500\\ \mathrm{kPa}. Assim:
v_1 = v_2 = \frac{R\,T_1}{p_1}=\frac{0{,}4615\cdot 593{,}15}{500}.
Faço a conta passo a passo: \;0{,}4615\cdot593{,}15\approx273{,}97. Dividindo por 500:
v_1=v_2\approx0{,}54795\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 3

Determinar a natureza do estado 2 (visto que o resfriamento foi a volume constante até T_2=120^\circ\mathrm{C}). Procedimento: comparar v_2 com os volumes específicos de saturado à 120^\circ\mathrm{C} (valores das tabelas). Valores de saturado a 120^\circ\mathrm{C} (retirados de tabelas de vapor):
p_\mathrm{sat}=198{,}53\\ \mathrm{kPa},\quad v_f=0{,}001060\\ \mathrm{m^3/kg},\quad v_g=0{,}89082\\ \mathrm{m^3/kg}.
Como \;v_f < v_2 < v_g (ou seja 0{,}00106 < 0{,}54795 < 0{,}89082), o estado 2 é uma mistura saturada (vapor + líquido) à temperatura 120^\circ\mathrm{C} e, portanto, a pressão em 2 é a pressão de saturação \;p_2=p_\mathrm{sat}=198{,}53\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a qualidade (fração mássica de vapor) em 2 e, a partir dela, a energia interna em 2. Fórmula da qualidade x em função do volume específico:
x = \frac{v - v_f}{v_g - v_f}.
Substituindo v=v_2=0{,}54795\\ \mathrm{m^3/kg}:
v_{fg}=v_g-v_f=0{,}89082-0{,}001060=0{,}88976\\ \mathrm{m^3/kg},
x_2=\frac{0{,}54795-0{,}001060}{0{,}88976}=\frac{0{,}54689}{0{,}88976}\approx0{,}6147.
Interpretação: em 2 há aproximadamente 61{,}47\% em massa de vapor e o resto líquido.
Para a energia interna de uma mistura saturada usa-se:
u = u_f + x\, (u_g - u_f).
Das tabelas (valores usados): \;u_f(120^\circ\mathrm{C})=504{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}. Para \;u_g usei o valor de tabela \;u_g(120^\circ\mathrm{C})=2547{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} (valor de referência das tabelas de vapor; utilizei este u_g que é compatível com os u_f e v_g também citados). Então:
u_2 = 504{,}7 + 0{,}6147\cdot(2547{,}6-504{,}7).
Calculo interno: 2547{,}6-504{,}7=2042{,}9. Multiplicando por 0{,}6147 obtém-se 1256{,}9. Somando 504{,}7:
u_2\approx1761{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto a energia interna no ponto 2 é \;u_2\approx1761{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}. (Explicação física curta: u_2 é a média ponderada entre u_f e u_g conforme a qualidade.)

Passo 5

Calcular o trabalho para cada trecho e o trabalho total. Conceito e fórmula: trabalho por unidade de massa em processo pistão-cilindro é
w=\int p\,dv.
  • Para 1\to2 (volume constante) \;dv=0, logo
w_{1\to2}=0.
  • Para 2\to3 (condensação isotérmica à pressão \;p_2=p_\mathrm{sat}=198{,}53\\ \mathrm{kPa}), a pressão é constante durante a mudança de fase; portanto
w_{2\to3}=p_2\,(v_3-v_2).
Aqui v_3=v_f(120^\circ\mathrm{C})=0{,}001060\\ \mathrm{m^3/kg} (estado líquido saturado). Substituindo:
w_{2\to3}=198{,}53\cdot(0{,}001060-0{,}54795)\\ \mathrm{kJ/kg}.
Faço a diferença de volumes: 0{,}001060-0{,}54795=-0{,}54689\\ \mathrm{m^3/kg}. Multiplicando:
w_{2\to3}=198{,}53\cdot(-0{,}54689)\approx-108{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}.
O sinal negativo indica que o trabalho realizado PELO SISTEMA é negativo — isto é, durante a condensação o ambiente realiza trabalho sobre o sistema (volume do sistema diminui). O trabalho total do processo 1\to3 é
w_{1\to3}=w_{1\to2}+w_{2\to3}=0+(-108{,}56)=-108{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular as trocas de calor usando a Primeira Lei para sistema fechado (por unidade de massa):
\Delta u = q - w,
onde \Delta u é variação de energia interna por unidade de massa entre os estados considerados, q é calor recebido pelo sistema (positivo se entra) e w é trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza). Reorganizando:
q=\Delta u + w.
Vou calcular por trechos e também o total.
Trecho 1\to2:
  • Como w_{1\to2}=0, temos q_{1\to2}=u_2-u_1. Ainda precisamos de u_1.
Estimativa de u_1 (estado superaquecido): como não dispunha diretamente do valor tabelado de u_1 na tabela superaquecida, usei a aproximação de vapor superaquecido ideal para estimar a variação de energia interna entre T_2 e T_1. Para vapor ideal a energia interna depende aproximadamente só da temperatura e podemos aproximar \;u(T_1)\approx u(T_2) + c_v\,(T_1-T_2) com c_v aproximadamente constante na faixa térmica considerada. Escolhi c_v\approx1{,}64\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor típico médio para vapor d’água nessa região). Assim:
u_1\approx u_g(120^\circ\mathrm{C}) + c_v\,(T_1-T_2).
Usando u_g(120^\circ\mathrm{C})=2547{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} e temperaturas em Kelvin ( T_1=593{,}15\\ \mathrm{K},\;T_2=393{,}15\\ \mathrm{K}), \Delta T=200\\ \mathrm{K}, obtemos:
u_1\approx2547{,}6 + 1{,}64\cdot200 =2547{,}6 +328 =2875{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora o calor no trecho 1\to2:
q_{1\to2}=u_2-u_1=1761{,}6-2875{,}6=-1114{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: calor removido do sistema (sinal negativo), ok porque resfriamos o vapor.
Trecho 2\to3:
Aplicando a Primeira Lei:
q_{2\to3}=u_3-u_2 + w_{2\to3}.
Aqui u_3=u_f(120^\circ\mathrm{C})=504{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}, u_2=1761{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} e w_{2\to3}=-108{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}. Substituindo:
q_{2\to3}=504{,}7-1761{,}6-108{,}56=-1365{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Também negativo: calor removido durante a condensação (faz sentido).
Total 1\to3:
  • Trabalho total já obtido: w_{1\to3}=-108{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor total:
q_{1\to3}=q_{1\to2}+q_{2\to3}=-1114{,}0+(-1365{,}5)=-2479{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Confirmação alternativa (cheque rápido): q_{1\to3}=u_3-u_1 + w_{1\to3}=504{,}7-2875{,}6-108{,}56\approx-2479{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} — mesmo resultado, bom.

Resposta

w_{1\to3}=-108{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}
q_{1\to3}=-2479{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}
u_2=1761{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}

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