Questão 6. A entrada de uma bomba tem um diâmetro de 0,35 \mathrm{~m} e a pressão para a bomba é 2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} - \mathrm{s}^{2}. A saída da bomba tem um diâmetro de 0,15 \mathrm{~m} e uma pressão de 6000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{2}. O fluido que está sendo bombeado tem uma viscosidade de 1,09 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} e uma densidade de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A saída da bomba está localizada 5 m acima da entrada. Em sua análise, admita que não haja variação de
temperatura entre a entrada e a saída. Determine a potência (trabalho) que a bomba deve adicionar ao fluido de modo a manter uma vazão constante de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Deixe claro as suposições necessárias para chegar ao resultado.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Diâmetro na entrada: } D_1 = 0{,}35\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Pressão na entrada: } p_1 = 2500\\ \mathrm{kg\,m^{-1}s^{-2}} \\ (\text{Pa}),\\\ &\text{Diâmetro na saída: } D_2 = 0{,}15\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Pressão na saída: } p_2 = 6000\\ \mathrm{kg\,m^{-1}s^{-2}} \\ (\text{Pa}),\\\ &\text{Diferença de cota (saída acima): } z_2 - z_1 = 5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Viscosidade dinâmica: } \mu = 1{,}09\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}},\\\ &\text{Densidade do fluido: } \rho = 600\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},\\\ &\text{Vazão volumétrica constante: } Q = 10\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}},\\\ &\text{Admissão do enunciado: temperatura constante entre entrada e saída.} \end{aligned}âãâíãíçíâãéãí
O que o enunciado pede:
  • Determinar a potência (trabalho por unidade de tempo) que a bomba deve adicionar ao fluido para manter a vazão Q=10\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.

Passo 2

Suponho explicitamente (essas suposições serão usadas nos cálculos; se quiser, marque-as como hipóteses da prova):
\begin{aligned} &\text{(i) Fluido incompressível e escoamento em regime estacionário.}\\\ &\text{(ii) As velocidades nas seções são médias uniformes (usamos }v=Q/A\text{).}\\\ &\text{(iii) Não há transferência de calor entre entrada e saída (dado).}\\\ &\text{(iv) Vamos desprezar perdas por atrito e quaisquer perdas singulares (}\;h_L=0\; \text{),}\\\ &\qquad\text{o que ocorre porque o enunciado não fornece comprimento de tubulação nem rugosidade.}\\\ &\text{(v) Não consideramos eficiência mecânica da bomba (tomamos potência hidráulica exigida).} \end{aligned}íáçõãéãáêíãçããêâêá
Observação: mais adiante vou calcular o número de Reynolds para mostrar que o escoamento é altamente turbulento — isso indica que perdas por atrito provavelmente são importantes; porém, sem comprimento/geom. não dá para quantificá-las. Portanto o resultado obtido com (iv) será a potência mínima teórica exigida (valor ideal sem perdas por atrito e sem ineficiências mecânicas).

Passo 3

Ferramenta física que usamos (explicando como funciona): equação de energia para escoamento entre duas seções com adição de trabalho pela bomba. Em forma de potência (taxa de trabalho que a bomba precisa fornecer):
\dot W_{\text{bomba}} = \dot m\left(\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2}+g z_2-\left(\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2}+g z_1\right)\right)+\dot m\,h_L,
onde:
  • \dot W_{\text{bomba}} é a potência fornecida pela bomba (W),
  • \dot m é a vazão mássica (\mathrm{kg\,s^{-1}}),
  • p_1,p_2 são pressões nas duas seções (Pa),
  • \rho é a densidade (\mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • v_1,v_2 são velocidades médias nas seções (\mathrm{m\,s^{-1}}),
  • g é a aceleração da gravidade (9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}),
  • z_1,z_2 são as cotas (m),
  • h_L é a perda de energia por atrito por unidade de massa (\mathrm{m^2\,s^{-2}}).
Explicação didática: cada termo dentro do parênteses é uma “energia específica” (energia por unidade de massa): \dfrac{p}{\rho} é energia associada à pressão, \dfrac{v^2}{2} é energia cinética específica, g z é energia potencial específica. A bomba deve fornecer a diferença dessas energias entre saída e entrada, mais as perdas por atrito. Como não conhecemos h_L, vamos tomar h_L=0 (hipótese explicitada).

Passo 4

Calcular áreas das seções e velocidades médias (mostrando as contas passo a passo).
Área de uma seção circular:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Cálculo de A_1 e A_2:
\begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}35)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}030625\approx 0{,}09621\\ \mathrm{m^2},\\\ A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}15)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}005625\approx 0{,}01766\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Velocidades médias (usando v=Q/A):
\begin{aligned} v_1 &= \frac{Q}{A_1}=\frac{10}{0{,}09621}\approx 103{,}95\\ \mathrm{m\,s^{-1}},\\\ v_2 &= \frac{Q}{A_2}=\frac{10}{0{,}01766}\approx 566{,}00\\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \end{aligned}
Comentário prático: essas velocidades são muito altas (especialmente na seção 2), o que já dá indício de que efeitos de atrito/choque podem ser relevantes e que o resultado será numericamente grande.

Passo 5

Calcular vazão mássica:
\dot m = \rho Q = 600\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\times 10\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}} = 6000\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.

Passo 6

Calcular cada contribuição de energia específica (por unidade de massa) entre saída e entrada.
  1. Termo de pressão:
\frac{p_2-p_1}{\rho}=\frac{6000-2500}{600}=\frac{3500}{600}=5{,}8333\\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}.
  1. Termo cinético:
\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\frac{(566{,}00)^2-(103{,}95)^2}{2}.
Calculemos:
(566{,}00)^2=320\,356{,}0,\qquad (103{,}95)^2=10\,803{,}8,
\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\frac{320\,356{,}0-10\,803{,}8}{2}=\frac{309\,552{,}2}{2}=154\,776{,}1\\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}.
  1. Termo de elevação (potencial):
g(z_2-z_1)=9{,}81\times 5 =49{,}05\\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}.
Somando as contribuições específicas (desprezando h_L):
\Delta e_{\text{específica}}=\frac{p_2-p_1}{\rho}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2}+g(z_2-z_1)í
\Delta e_{\text{específica}}=5{,}8333+154\,776{,}1+49{,}05\approx 154\,830{,}98\\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}.í

Passo 7

Calcular a potência requerida multiplicando pela vazão mássica:
\dot W_{\text{bomba}}=\dot m\\ \Delta e_{\text{específica}}=6000\times 154\,830{,}98\\ \mathrm{W}.í
\dot W_{\text{bomba}}\approx 928\,985\,880\\ \mathrm{W}\approx 9{,}29\times 10^{8}\\ \mathrm{W}.
Em unidades mais usuais:
\dot W_{\text{bomba}}\approx 929\\ \mathrm{MW}.
Interpretando: esse é o valor teórico mínimo necessário na condição em que não há perdas por atrito nem ineficiência da bomba. Na prática a bomba precisa ser maior quando se consideram perdas reais e eficiência menor que 100\%.

Passo 8

Verificação com o número de Reynolds (para aprender quando atrito é importante). O número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}.
Cálculo em cada seção:
Para a entrada (seção 1):
\mathrm{Re}_1=\frac{600\times 103{,}95\times 0{,}35}{1{,}09\times 10^{-3}}
600\times 103{,}95\times 0{,}35=21840{,}3
\mathrm{Re}_1\approx \frac{21840{,}3}{1{,}09\times 10^{-3}}\approx 2{,}00\times 10^{7}.
Para a saída (seção 2):
\mathrm{Re}_2=\frac{600\times 566{,}00\times 0{,}15}{1{,}09\times 10^{-3}}
600\times 566{,}00\times 0{,}15=50\,931{,}0
\mathrm{Re}_2\approx \frac{50\,931{,}0}{1{,}09\times 10^{-3}}\approx 4{,}67\times 10^{7}.
Comentário: ambos os números de Reynolds são muito altos ( \gg 4000), o que significa escoamento fortemente turbulento. Isso confirma que perdas por atrito e perdas singulares (mudança de área brusca) provavelmente são grandes. Como não temos comprimento de tubulação nem rugosidade, não podemos quantificar h_L; assim o valor calculado no Passo 7 é uma estimativa mínima (sem perdas reais) e a potência real exigida será maior.

Resposta

9{,}29\times 10^{8}\\ \mathrm{W}

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