Exemplo 3: Calcule a variação de entropia nos seguintes processos:
2,0 mols de um gás ideal vão de 0^{\circ} \mathrm{C} e 2,0 \mathrm{~atm} para -40^{\circ} \mathrm{C} e 0,4 \mathrm{~atm}. Dado para o gás: \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}=2,5 \mathrm{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números do enunciado):
  • Pedido: calcular a variação de entropia do gás quando ele passa do estado inicial para o estado final.
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade de matéria: n=2{,}0\\ \mathrm{mol}.
    • Estado inicial: T_1=0^\circ\mathrm{C} e P_1=2{,}0\\ \mathrm{atm}.
    • Estado final: T_2=-40^\circ\mathrm{C} e P_2=0{,}4\\ \mathrm{atm}.
    • Capacidade térmica molar a pressão constante: \overline{C}_p = 2{,}5\,R.
  • Observação importante: para cálculos térmicos precisamos usar temperaturas em kelvin. Não é pedido considerar variação de n ou alguma transformação irreversível específica — só calcular a variação de entropia entre os dois estados dados.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo do porquê dessa fórmula).
  • A entropia é uma função de estado: a variação \Delta S entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho. Isso permite escolher um caminho conveniente para integrar.
  • Para um gás ideal existe a relação diferencial
dS = n\,\overline{C}_v\frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V}.
Explicando: dS é o diferencial da entropia do sistema; \overline{C}_v é a capacidade térmica molar a volume constante; R é a constante dos gases; V é o volume. A primeira parcela vem do calor trocado a volume constante e a segunda vem do trabalho P\,dV dividido por T.
  • Usando a equação de estado do gás ideal P V = n R T e diferenciando em forma relativa obtemos
\frac{dV}{V} = \frac{dT}{T} - \frac{dP}{P}.
  • Substituindo essa expressão em dS
dS = n\overline{C}_v\frac{dT}{T} + nR\left(\frac{dT}{T} - \frac{dP}{P}\right) = n(\overline{C}_v+R)\frac{dT}{T} - nR\frac{dP}{P}.
  • Lembrando que \overline{C}_p = \overline{C}_v + R, obtemos a forma prática e muito usada:
dS = n\,\overline{C}_p\frac{dT}{T} - nR\frac{dP}{P}.
  • Esta forma é conveniente quando conhecemos temperaturas e pressões iniciais e finais: basta integrar entre os dois estados.

Passo 3

Expressão integral para a variação de entropia entre os estados dados.
  • Integrando a expressão do passo anterior de 1 para 2:
\Delta S = \int_{1}^{2} dS = n\,\overline{C}_p\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T} - nR\int_{P_1}^{P_2}\frac{dP}{P}.
  • As integrais são logaritmos naturais, portanto:
\Delta S = n\,\overline{C}_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Aqui está o que cada símbolo significa:
    • n: número de mols;
    • \overline{C}_p: capacidade térmica molar a pressão constante (no enunciado dada como 2{,}5\,R);
    • T_1,T_2: temperaturas absolutas (kelvin) nos estados inicial e final;
    • P_1,P_2: pressões nos estados inicial e final;
    • R: constante universal dos gases, R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 4

Converter temperaturas para kelvin e substituir \overline{C}_p.
  • Converter:
    • T_1 = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • T_2 = -40^\circ\mathrm{C} = 233{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Expressar \overline{C}_p em função de R: \overline{C}_p = 2{,}5\,R.
  • Substituindo na fórmula geral: \Delta S = n(2{,}5\,R)\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Podemos fatorar nR: \Delta S = nR\left(2{,}5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\right).

Passo 5

Substituir números e calcular cada termo com cuidado (mostrando as contas).
  • Valores numéricos:
    • n=2{,}0\\ \mathrm{mol}.
    • R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (usarei R=8{,}314 para os cálculos).
    • \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{233{,}15}{273{,}15}.
    • \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{0{,}4}{2{,}0}=0{,}2.
  • Calcular os logaritmos naturais: \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{233{,}15}{273{,}15}\right)\approx \ln(0{,}853546)\approx -0{,}158586.
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(0{,}2)\approx -1{,}609438.
  • Agora calcular nR: nR = 2{,}0\times 8{,}314 = 16{,}628\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Calcular os termos dentro dos parênteses: 2{,}5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 2{,}5\times(-0{,}158586)\approx -0{,}396465.
-\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -(-1{,}609438)=+1{,}609438.
\Rightarrow 2{,}5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx -0{,}396465 + 1{,}609438 = 1{,}212973.
  • Finalmente: \Delta S = nR\times 1{,}212973 \approx 16{,}628\times 1{,}212973 \approx 20{,}17\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Interpretação do resultado e verificação rápida de sinal.
  • O resultado é positivo: \Delta S\approx 20{,}17\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Interpretação física simples (pra dar intuição): o resfriamento (queda de T) tende a diminuir a entropia, o termo com \ln(T_2/T_1) é negativo; porém a grande redução de pressão (de 2{,}0 para 0{,}4\\ \mathrm{atm}) aumenta muito a entropia, e esse efeito venceu o resfriamento, resultando em aumento líquido de entropia. Isso faz sentido: expandir/rarear o gás aumenta sua desordem, e aqui a rarefação foi forte.

Resposta

\Delta S \approx 20{,}17\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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