Exemplo 3: Calcule a variação de entropia nos seguintes processos:
2,0 mols de um gás ideal vão de 0^{\circ} \mathrm{C} e 2,0 \mathrm{~atm} para -40^{\circ} \mathrm{C} e 0,4 \mathrm{~atm}. Dado para o gás: \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}=2,5 \mathrm{R}.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes números do enunciado):
Pedido: calcular a variação de entropia do gás quando ele passa do estado inicial para o estado final.
Dados fornecidos:
Quantidade de matéria: n=2{,}0\\ \mathrm{mol}.
Estado inicial: T_1=0^\circ\mathrm{C} e P_1=2{,}0\\ \mathrm{atm}.
Estado final: T_2=-40^\circ\mathrm{C} e P_2=0{,}4\\ \mathrm{atm}.
Capacidade térmica molar a pressão constante: \overline{C}_p = 2{,}5\,R.
Observação importante: para cálculos térmicos precisamos usar temperaturas em kelvin. Não é pedido considerar variação de n ou alguma transformação irreversível específica — só calcular a variação de entropia entre os dois estados dados.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo do porquê dessa fórmula).
A entropia é uma função de estado: a variação \Delta S entre dois estados depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho. Isso permite escolher um caminho conveniente para integrar.
Explicando: dS é o diferencial da entropia do sistema; \overline{C}_v é a capacidade térmica molar a volume constante; R é a constante dos gases; V é o volume. A primeira parcela vem do calor trocado a volume constante e a segunda vem do trabalho P\,dV dividido por T.
Usando a equação de estado do gás ideal P V = n R T e diferenciando em forma relativa obtemos
Interpretação do resultado e verificação rápida de sinal.
O resultado é positivo: \Delta S\approx 20{,}17\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Interpretação física simples (pra dar intuição): o resfriamento (queda de T) tende a diminuir a entropia, o termo com \ln(T_2/T_1) é negativo; porém a grande redução de pressão (de 2{,}0 para 0{,}4\\ \mathrm{atm}) aumenta muito a entropia, e esse efeito venceu o resfriamento, resultando em aumento líquido de entropia. Isso faz sentido: expandir/rarear o gás aumenta sua desordem, e aqui a rarefação foi forte.