Exemplo 7.7- Uma corrente de etileno gasoso, a
e 45 bar, é expandida adiabaticamente em uma turbina até 2 bar. Calcule o trabalho isentrópico produzido. Determine as propriedades do etileno por:
(a) Equações para um gás ideal.
(b) Correlações generalizadas apropriadas.
(a) Equações para um gás ideal.
(b) Correlações generalizadas apropriadas.
Passo 1
O enunciado dá uma corrente de etileno gasoso inicialmente a
e
que se expande adiabaticamente numa turbina até
. Pede-se o trabalho isentrópico produzido. Informações fornecidas explicitamente:
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular o trabalho isentrópico supondo equações de gás ideal.
(b) Calcular o trabalho isentrópico usando correlações generalizadas apropriadas (isto é, levando em conta desvios à idealidade com base em propriedades críticas e fator acêntrico).
(a) Calcular o trabalho isentrópico supondo equações de gás ideal.
(b) Calcular o trabalho isentrópico usando correlações generalizadas apropriadas (isto é, levando em conta desvios à idealidade com base em propriedades críticas e fator acêntrico).
Observação: não foi dada no enunciado a massa molar, temperatura crítica, etc. Para prosseguir vou usar valores de propriedade típicos de bases de dados (NIST / livros): massa molar
,
,
, fator acêntrico
. Também vou usar um valor de calor específico molar aproximado para etileno no estado inicial (obtido em bases de dados)
(isto será explicitado onde for usado). Com esses dados consigo computar as grandezas pedidas. Vou apresentar todas as hipóteses que faço e como elas influenciam o resultado.
Passo 2
Conceito físico e estratégia (sem números ainda).
- Para uma expansão isentrópica e adiabática reversível numa turbina de escoamento estacionário, o trabalho específico (por unidade de massa) produzido corresponde à queda de entalpia entre entrada e saída:
Aqui
é entalpia específica (por unidade de massa) e o subíndice
indica o estado de saída obtido supondo processo isentrópico (mesma entropia do estado 1).
- Portanto precisamos encontrar
e . Em termos práticos: - Determinar estado 1 (já dado
) e calcular . - Determinar estado 2s: é o estado à pressão
tal que . A partir daí obter e então .
- Determinar estado 1 (já dado
- Métodos:
(a) Gás ideal: usa as relações clássicas de gás ideal para entalpia e para a isentropia (relação entre temperaturas e pressões envolvendoou integrais de ).
(b) Correlações generalizadas: usa as propriedades reduzidas, e gráficos/correlações para fator de compressibilidade e funções de “enthalpy/entropy departure” para avaliar efeitos não-ideais; o procedimento matemático será mostrado e então aplico valores numéricos aproximados extraídos de correlações/quadros generalizados.
Passo 3
Dados numéricos que usarei (explique por que):
- Massa molar:
- Constante universal dos gases:
- Constante específica do gás (por massa):
- Propriedades críticas e fator acêntrico (usado nas correlações generalizadas):
- Calor específico molar do etileno no estado inicial (valor tomado de base de dados):
Isso dá o calor específico por massa:
- Comentário sobre a hipótese
constante: para muitas aplicações de termodinâmica de gases a aproximação constante entre temperaturas não muito diferentes é aceitável; aqui as temperaturas variam de para , a variação é moderada e a aproximação gera erro pequeno. Se for desejado um resultado mais preciso, integrar ou usar dados tabulados daria melhora.
Passo 4
(a) Resolução pelo modelo de gás ideal — teoria passo a passo.
- Para gás ideal com
constante, entalpia específica depende só da temperatura:
logo diferenças de entalpia são simplesmente
- A relação isentrópica para gás ideal com razões de capacidades constantes (
) é
- Precisamos então de
. Como , temos
- Calculando
com os números adotados:
- Exponencial da relação isentrópica:
- Calcula-se
:
Calculemos o termo de potência:
. Multiplicando por
dá
. Exponenciando:
Portanto
- Agora o trabalho isentrópico específico (por unidade de massa) é
Substituindo:
Ou seja aproximadamente
- Também podemos expressar por mol:
Passo 5
Comentário pedagógico sobre (a) — por que esse método funciona na prova.
- O que usei: gás ideal,
constante e relação isentrópica clássica. Em prova é muito comum pedir esse método porque evita integrais e tabelas complexas: com constante obtém-se uma fórmula direta para e o trabalho. - Dicas práticas: sempre calcule
corretamente (unidades), calcule antes de . Verifique a ordem de grandeza de (não deve ser negativa nem absurdamente baixa). Se o variar muito com , integre — mas para provas rápidas a aproximação de constante avalia-se em e dá resultado aceitável.
Passo 6
(b) Resolução usando correlações generalizadas — teoria passo a passo.
- Em gases reais,
e não são iguais às grandezas do gás ideal; escrevemos:
onde
e
são as «departures» (desvios) devido à não idealidade. Para processos isentrópicos devemos impor
, i.e.
- A parte ideal-gás da entropia (diferença entre dois estados) é:
(para
constante).
- A contribuição residual
pode ser obtida a partir de funções de estado (gráficos generalizados) ou por uma equação de estado cúbica (SRK, PR), levando à função de entropia de reação (ou usando tabelas/diagramas de departure: ). Uma relação útil:
onde
é o fator de compressibilidade (
). Assim, se conhecemos
e
(ou
), podemos avaliar
.
- Procedimento prático (usando correlações generalizadas):
- Calcular temperaturas reduzidas e pressões reduzidas:
- Usar os diagramas/correlações generalizadas (curvas de compressibilidade e folhas de departure) para obter
, e nos dois estados. - Montar equação de conservação de entropia e resolver para
(geralmente iterativamente): - Uma vez obtido
, calcular e então .
- Calcular temperaturas reduzidas e pressões reduzidas:
Passo 7
(b) Aplicação numérica com correlações generalizadas — avaliar os termos (valores usados e aproximações).
- Calculemos reduções:
- Comentário prático: para
muito baixo (0{,}04) o gás é praticamente ideal à saída ( , departures próximos de zero). Para e existe um desvio moderado da idealidade no estado inicial. Usando os diagramas generalizados de compressibilidade e de enthalpy/entropy departure (ou uma EOS cúbica calibrada), obtém-se tipicamente valores aproximados (valores tomados de correlações/diagramas padrões para etileno com ): - Fator de compressibilidade no estado 1:
(aproximação de gráfico generalizado para ). - Fator de compressibilidade no estado 2:
(pressão baixa). - Entalpy departure por massa no estado 1 (isto é
): um valor típico para essas condições é da ordem de (valor negativo porque a não idealidade reduz levemente a entalpia comparada ao modelo ideal naquelas condições). No estado 2 o departure é praticamente zero: .
- Fator de compressibilidade no estado 1:
- Justificativa: os números acima vêm de leitura direta de gráficos generalizados (compressibility chart e charts de departure) ou de avaliação rápida com uma EOS cúbica (PR/SRK). Em provas muitas vezes permitem leitura de tais gráficos; se não houver gráfico, o caminho é pedir aproximação pelo gás ideal ou usar uma EOS.
Passo 8
(b) Cálculo final aproximado com os departures assumidos.
- Já temos do caso ideal:
- Para o gas real, como explicado antes,
- Com as estimativas de departures adotadas:
Logo
- Interpretação: a correção por não idealidade reduz levemente o trabalho isentrópico (a diferença é pequena,
ou ), pois embora a pressão inicial seja alta (45 bar), a temperatura inicial é relativamente alta ( ) e a saída é em pressão muito baixa — portanto os desvios não são enormes.
Passo 9
Dicas para prova e verificação rápida:
- Se tiver apenas opção por gás ideal, use o procedimento do Passo 4; calcule
e aplique a relação isentrópica. Faça checagens dimensionais e ordem de grandeza (trabalho em kJ/kg, temperaturas em K). - Se tiver gráficos de compressibilidade e de enthalpy/entropy departure, siga Passos 6–8: obtenha
, , e resolva a equação de entropia iterativamente ou use a relação com os valores de departure. - Sempre declare as hipóteses (cp constante, dados de entrada de
, valores lidos nos gráficos) — o avaliador geralmente aceita aproximações quando explícitas.
Resposta
(a)
(b) Usando correlações generalizadas (valores aproximados de e departures):
(b) Usando correlações generalizadas (valores aproximados de