Exemplo 7.6- Uma turbina a vapor, com capacidade nominal de 56.400 kW ( 56.400 \mathrm{kJ.s}^{-1} ), opera com vapor d’água a 8.600 kPa e 500^{\circ} \mathrm{C} em sua alimentação, e descarrega em um condensador a uma pressão de 10 kPa .
Supondo uma eficiência da turbina de 0,75 , determine o estado do vapor na descarga e a vazão mássica do vapor.

Passo 1

O enunciado dá:
\text{Potência da turbina: }56{,}400\\ \text{kW} \\\ \text{Pressão de alimentação: }8{,}600\\ \text{kPa} \\\ \text{Temperatura de alimentação: }500^\circ\text{C} \\\ \text{Pressão de descarga (condensador): }10\\ \text{kPa} \\\ \text{Eficiência da turbina (isentrópica): } \eta_t = 0{,}75êãçãçããêó
O que é pedido:
  • Determinar o estado do vapor na descarga da turbina (ou seja, pressão, temperatura e qualidade — se for vapor úmido — e, se útil, a entalpia de saída).
  • Determinar a vazão mássica de vapor que produz a potência dada.
Observação: vamos usar propriedades do vapor (tabelas de vapor saturado e superaquecido). Quando eu indicar valores de entalpia e entropia iniciais, estou extraindo esses números das tabelas de vapor para \,8{,}600\\ \text{kPa} e 500^\circ\text{C}; para a descarga usarei as propriedades saturadas em \,10\\ \text{kPa}.

Passo 2

Obter as propriedades na entrada da turbina (estado 1) a partir das tabelas de vapor (tabelas de vapor superaquecido para \,8{,}600\\ \text{kPa} e 500^\circ\text{C}).
Usando tabela de vapor superaquecido para \,8{,}600\\ \text{kPa} e 500^\circ\text{C} (valores retirados da tabela):
h_1 = 3\,458{,}6\\ \text{kJ/kg},\qquad s_1 = 6{,}862\\ \text{kJ/(kg\cdot K)}.
Para a pressão de descarga \,p_2 = 10\\ \text{kPa} (tabela de vapor saturado em \,0{,}01\\ \text{MPa}):
T_{\text{sat, }0{,}01\text{MPa}} = 45{,}81^\circ\text{C},\qquad h_f = 191{,}81\\ \text{kJ/kg},\qquad h_g = 2\,584{,}7\\ \text{kJ/kg},
s_f = 0{,}6493\\ \text{kJ/(kg\cdot K)},\qquad s_g = 8{,}1503\\ \text{kJ/(kg\cdot K)}.
Comentário rápido: a temperatura de saturação em 10\\ \text{kPa} é cerca de 45{,}81^\circ\text{C}; se o vapor na descarga for mistura líquido-vapor, sua temperatura será essa (sat. a 10\\ \text{kPa}).

Passo 3

Explicar o procedimento físico-matemático que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A expansão ideal (isentrópica) da turbina preserva a entropia: s_{2s} = s_1. Com s_{2s} conhecido e as propriedades saturadas em p_2, podemos determinar a qualidade isentrópica x_{2s} e a entalpia isentrópica de saída h_{2s}.
  • A eficiência isentrópica da turbina é definida por
\eta_t = \dfrac{\text{trabalho real}}{\text{trabalho isentrópico}} = \dfrac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}}.ó
Isolando h_2 (entalpia real de saída):
h_2 = h_1 - \eta_t\,(h_1 - h_{2s}).
  • Uma vez com h_2, podemos obter a qualidade real x_2 (se h_2 cair entre h_f e h_g):
x_2 = \dfrac{h_2 - h_f}{h_g - h_f}.
  • A vazão mássica é obtida pela balanço de energia na turbina:
\dot{m} = \dfrac{\dot{W}}{h_1 - h_2},
onde \dot{W} é a potência (em \text{kJ/s}, aqui igual a \,56{,}400\\ \text{kW} = 56{,}400\\ \text{kJ/s}).

Passo 4

Calcular o estado isentrópico de saída (estado 2s) usando s_{2s}=s_1.
Cálculo da qualidade isentrópica x_{2s}:
x_{2s} = \dfrac{s_{2s} - s_f}{s_g - s_f} = \dfrac{6{,}862 - 0{,}6493}{8{,}1503 - 0{,}6493} = \dfrac{6{,}2127}{7{,}5010} \approx 0{,}8284.
Cálculo da entalpia isentrópica h_{2s}:
h_{2s} = h_f + x_{2s}\,(h_g - h_f) = 191{,}81 + 0{,}8284\,(2\,584{,}7 - 191{,}81).
Calcule a diferença:
h_g - h_f = 2\,584{,}7 - 191{,}81 = 2\,392{,}89\\ \text{kJ/kg}.
Então
h_{2s} = 191{,}81 + 0{,}8284\cdot 2\,392{,}89 \approx 191{,}81 + 1\,982{,}66 = 2\,174{,}47\\ \text{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular a entalpia real de saída h_2 usando a eficiência da turbina \eta_t = 0{,}75:
h_2 = h_1 - \eta_t\,(h_1 - h_{2s}) = 3\,458{,}6 - 0{,}75\,(3\,458{,}6 - 2\,174{,}47).
Calcule a diferença interna:
h_1 - h_{2s} = 3\,458{,}6 - 2\,174{,}47 = 1\,284{,}13\\ \text{kJ/kg}.
Então
h_2 = 3\,458{,}6 - 0{,}75\cdot 1\,284{,}13 = 3\,458{,}6 - 963{,}10 = 2\,495{,}50\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Determinar a qualidade real x_2 na descarga (verificar que h_2 está entre h_f e h_g):
Verificação:
h_f = 191{,}81 < h_2 = 2\,495{,}50 < h_g = 2\,584{,}7,
portanto é vapor úmido (mistura). A qualidade:
x_2 = \dfrac{h_2 - h_f}{h_g - h_f} = \dfrac{2\,495{,}50 - 191{,}81}{2\,392{,}89} = \dfrac{2\,303{,}69}{2\,392{,}89} \approx 0{,}9628.
Logo, na descarga: pressão \,10\\ \text{kPa}, temperatura de saturação \,45{,}81^\circ\text{C} e qualidade x_2 \approx 0{,}9628 (aprox. 96{,}3\% de vapor em massa). A entalpia de saída é \,h_2 \approx 2\,495{,}50\\ \text{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a vazão mássica \dot{m}:
A potência é \dot{W} = 56{,}400\\ \text{kW} = 56{,}400\\ \text{kJ/s}. A diferença de entalpia real disponível é
h_1 - h_2 = 3\,458{,}6 - 2\,495{,}50 = 963{,}10\\ \text{kJ/kg}.
Então
\dot{m} = \dfrac{\dot{W}}{h_1 - h_2} = \dfrac{56{,}400}{963{,}10} \approx 58{,}60\\ \text{kg/s}.
Interpretação: precisa passar cerca de \,58{,}6\\ \text{kg/s} de vapor nas condições dadas para fornecer 56{,}400\\ \text{kW} com a eficiência especificada.

Resposta

Estado na descarga: p_2 = 10\\ \text{kPa}, T_{\text{sat}} = 45{,}81^\circ\text{C}, x_2 \approx 0{,}9628 (vapor úmido), h_2 \approx 2\,495{,}50\\ \text{kJ/kg}.
Vazão mássica: \dot{m} \approx 58{,}60\\ \text{kg/s}.

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