Exemplo 7.2- Um bocal de alta velocidade é projetado para operar com vapor d’água a 700 kPa e 300^{\circ} \mathrm{C}. Na entrada do bocal, a velocidade é de 30 \mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}. Calcule os valores da razão \mathrm{A} / \mathrm{A}_{1} (onde \mathrm{A}_{1} é a área da seção transversal na entrada do bocal) nas seções nas quais a pressão é de 600 , 500,400,300 e 200 kPa . Admita que o bocal opere isentropicamente.

Passo 1

O enunciado dá um bocal por onde passa vapor d’água em escoamento isentrópico. Preciso calcular a razão da área A/A_{1} nas seções onde a pressão vale 600, 500, 400, 300 e 200\\ \mathrm{kPa}. Dados fornecidos:
p_{1}=700\\ \mathrm{kPa},\quad T_{1}=300^\circ\mathrm{C},\quad V_{1}=30\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
O que se pede: para cada pressão p_{2}\in\{600,\;500,\;400,\;300,\;200\}\\ \mathrm{kPa} determinar a razão de áreas
\frac{A}{A_{1}}=\frac{\dot m/(\rho_{2}V_{2})}{\dot m/(\rho_{1}V_{1})}=\frac{\rho_{1}V_{1}}{\rho_{2}V_{2}}.
Informações relevantes listadas:
  • Escoamento isentrópico (sendo usado aqui o modelo de gás ideal com calor específico constante).
  • Precisamos das temperaturas T_{2}, entalpias h_{1},h_{2}, densidades \rho_{1},\rho_{2} e velocidades V_{2} para cada p_{2}.
  • Usaremos conservação de energia (primeira lei na forma de Bernoulli com entalpia) e equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas principais (explicadas passo a passo):
  • Como o enunciado pede um bocal isentrópico e não trouxe tabelas, vou modelar o vapor d’água como gás ideal com razão de capacidades térmicas \gamma=k constante. Essa é uma aproximação comum para exercícios de escoamento de gás em bocais quando tabelas não são fornecidas. Vou justificar e mostrar o que uso:
    • Constantes adotadas (valores típicos para vapor seco na faixa considerada): k = 1,33,\qquad R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
    • Para gás ideal com k constante, a entalpia específica é h = c_{p}T, com c_{p} = \frac{kR}{k-1}.Vou calcular c_{p} e usá-lo.
  • Relações isentrópicas para gás ideal (explicação curta): em processo isentrópico para gás ideal com c_{p} constante vale \frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{\frac{k-1}{k}}.Isso vem de p^{1-k}T^{k}= constante (derivação padrão de processo isentrópico).
  • Conservação de energia para escoamento estacionário sem trabalho/potência externa e desprezando variação de potencial: h_{1} + \frac{V_{1}^{2}}{2} = h_{2} + \frac{V_{2}^{2}}{2}.Como h=c_{p}T, isto permite obter V_{2}.
  • Equação de estado do gás ideal para densidade: \rho = \frac{p}{R\,T},com p em \mathrm{kPa}, R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e T em K, resultando em \rho em \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
  • Por fim a razão de áreas: \frac{A}{A_{1}}=\frac{\rho_{1}V_{1}}{\rho_{2}V_{2}}.

Passo 3

Cálculo das constantes numéricas usadas (expliquei o porquê acima):
k=1{,}33,\qquad R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calculo de c_{p}:
c_{p}=\frac{kR}{k-1}=\frac{1{,}33\cdot 0{,}4615}{1{,}33-1}=\frac{0{,}613795}{0{,}33}\approx 1{,}860588\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Preparar as quantidades iniciais (conversões e valores iniciais):
  • Temperatura absoluta na entrada: T_{1}=300^\circ\mathrm{C}=300+273{,}15=573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Entalpia específica na entrada: h_{1}=c_{p}T_{1}=1{,}860588\cdot 573{,}15\approx 1066{,}40\\ \mathrm{kJ/kg}.(Aqui h é entalpia por unidade de massa.)
  • Termo cinético inicial em unidades compatíveis (kJ/kg): \frac{V_{1}^{2}}{2}=\frac{30^{2}}{2\cdot 1000}=\frac{900}{2000}=0{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Densidade inicial pela equação de estado: \rho_{1}=\frac{p_{1}}{R\,T_{1}}=\frac{700}{0{,}4615\cdot 573{,}15}\approx 2{,}646\\ \mathrm{kg/m^{3}}.(Note que p_{1}=700 está em \mathrm{kPa} e usamos R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.)

Passo 5

Fórmulas que vou aplicar para cada pressão p_{2}:
  • Relação isentrópica para T_{2}: T_{2}=T_{1}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{\frac{k-1}{k}}.Defino o expoente \displaystyle \alpha=\frac{k-1}{k}\approx 0{,}2481203.
  • Entalpia h_{2}=c_{p}T_{2}.
  • Energia para achar V_{2}: \frac{V_{2}^{2}}{2}=h_{1}-h_{2}+\frac{V_{1}^{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad V_{2}=\sqrt{2000\,(h_{1}-h_{2})+V_{1}^{2}},onde multiplicamos por 2000 porque h está em \mathrm{kJ/kg} e queremos V_{2}^{2} em \mathrm{(m/s)^{2}} (lembrando que 1\\ \mathrm{kJ/kg}=1000\\ \mathrm{J/kg}).
  • Densidade na seção 2: \rho_{2}=\frac{p_{2}}{R\,T_{2}}.
  • Razão de áreas: \frac{A}{A_{1}}=\frac{\rho_{1}V_{1}}{\rho_{2}V_{2}}.

Passo 6

Cálculo para p_{2}=600\\ \mathrm{kPa}.
  • p_{2}/p_{1}=600/700=0{,}8571429.
  • T_{2}=573{,}15\cdot(0{,}8571429)^{0{,}2481203}\approx 551{,}61\\ \mathrm{K}.
  • h_{2}=1{,}860588\cdot 551{,}61\approx 1026{,}32\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • h_{1}-h_{2}=1066{,}40-1026{,}32=40{,}08\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • V_{2}=\sqrt{2000\cdot 40{,}08 + 30^{2}}=\sqrt{81054{,}4}\approx 284{,}71\\ \mathrm{m/s}.
  • \rho_{2}=\dfrac{600}{0{,}4615\cdot 551{,}61}\approx 2{,}357\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \dfrac{A}{A_{1}}=\dfrac{2{,}646\cdot 30}{2{,}357\cdot 284{,}71}\approx 0{,}1183.

Passo 7

Cálculo para p_{2}=500\\ \mathrm{kPa}.
  • p_{2}/p_{1}=0{,}7142857.
  • T_{2}=573{,}15\cdot(0{,}7142857)^{0{,}2481203}\approx 527{,}46\\ \mathrm{K}.
  • h_{2}=1{,}860588\cdot 527{,}46\approx 981{,}39\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • h_{1}-h_{2}=1066{,}40-981{,}39=85{,}01\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • V_{2}=\sqrt{2000\cdot 85{,}01 + 30^{2}}=\sqrt{170910}\approx 413{,}49\\ \mathrm{m/s}.
  • \rho_{2}=\dfrac{500}{0{,}4615\cdot 527{,}46}\approx 2{,}054\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \dfrac{A}{A_{1}}=\dfrac{2{,}646\cdot 30}{2{,}054\cdot 413{,}49}\approx 0{,}0936.

Passo 8

Cálculo para p_{2}=400\\ \mathrm{kPa}.
  • p_{2}/p_{1}=0{,}5714286.
  • T_{2}=573{,}15\cdot(0{,}5714286)^{0{,}2481203}\approx 499{,}00\\ \mathrm{K}.
  • h_{2}=1{,}860588\cdot 499{,}00\approx 928{,}44\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • h_{1}-h_{2}=1066{,}40-928{,}44=137{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • V_{2}=\sqrt{2000\cdot 137{,}96 + 30^{2}}=\sqrt{276822}\approx 525{,}95\\ \mathrm{m/s}.
  • \rho_{2}=\dfrac{400}{0{,}4615\cdot 499{,}00}\approx 1{,}736\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \dfrac{A}{A_{1}}=\dfrac{2{,}646\cdot 30}{1{,}736\cdot 525{,}95}\approx 0{,}0870.

Passo 9

Cálculo para p_{2}=300\\ \mathrm{kPa}.
  • p_{2}/p_{1}=0{,}4285714.
  • T_{2}=573{,}15\cdot(0{,}4285714)^{0{,}2481203}\approx 464{,}63\\ \mathrm{K}.
  • h_{2}=1{,}860588\cdot 464{,}63\approx 864{,}49\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • h_{1}-h_{2}=1066{,}40-864{,}49=201{,}91\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • V_{2}=\sqrt{2000\cdot 201{,}91 + 30^{2}}=\sqrt{404718}\approx 636{,}06\\ \mathrm{m/s}.
  • \rho_{2}=\dfrac{300}{0{,}4615\cdot 464{,}63}\approx 1{,}399\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \dfrac{A}{A_{1}}=\dfrac{2{,}646\cdot 30}{1{,}399\cdot 636{,}06}\approx 0{,}0892.

Passo 10

Cálculo para p_{2}=200\\ \mathrm{kPa}.
  • p_{2}/p_{1}=0{,}2857143.
  • T_{2}=573{,}15\cdot(0{,}2857143)^{0{,}2481203}\approx 420{,}31\\ \mathrm{K}.
  • h_{2}=1{,}860588\cdot 420{,}31\approx 782{,}03\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • h_{1}-h_{2}=1066{,}40-782{,}03=284{,}37\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • V_{2}=\sqrt{2000\cdot 284{,}37 + 30^{2}}=\sqrt{569638}\approx 754{,}74\\ \mathrm{m/s}.
  • \rho_{2}=\dfrac{200}{0{,}4615\cdot 420{,}31}\approx 1{,}031\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \dfrac{A}{A_{1}}=\dfrac{2{,}646\cdot 30}{1{,}031\cdot 754{,}74}\approx 0{,}1021.

Passo 11

Observações finais e incentivo:
  • Usei o modelo de gás ideal com k=1{,}33 e R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Isso é uma aproximação razoável para vapor super-aquecido, mas se você tiver tabelas de vapor (steam tables) ou um software de propriedades reais, substituir os h e \rho reais por valores das tabelas dará resultados mais precisos.
  • Os cálculos mostram que a razão de área diminui muito (o bocal acelera o vapor), atinge um mínimo e depois aumenta levemente quando a pressão cai bastante — esse efeito está ligado à combinação de diminuição da densidade e aumento da velocidade.
  • Você está indo bem! Se quiser, eu faço essa mesma resolução usando dados das tabelas de vapor reais (mais preciso) — é só pedir.

Resposta

p=600\\ \mathrm{kPa}:\\ \dfrac{A}{A_{1}}=0{,}1183\n
p=500\\ \mathrm{kPa}:\\ \dfrac{A}{A_{1}}=0{,}0936\n
p=400\\ \mathrm{kPa}:\\ \dfrac{A}{A_{1}}=0{,}0870\n
p=300\\ \mathrm{kPa}:\\ \dfrac{A}{A_{1}}=0{,}0892\n
p=200\\ \mathrm{kPa}:\\ \dfrac{A}{A_{1}}=0{,}1021

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