Exemplo 1.7 Uma mistura de etanol e água contendo 50 \% (em base molar) de etanol é alimentada, a uma vazão constante ( 100 \mathrm{~mol} \mathrm{~min}^{-1} ), a uma coluna de destilação produzindo um destilado (D) com 70% (em base molar) de etanol. Sabendo que o produto de fundo (W) contém 1% (em base molar) de etanol, realizar o balanço material completo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas em base molar, peguei esses valores do enunciado):
  • Vazão de alimentação: F = 100\\ \mathrm{mol\\ min^{-1}}.
  • Fração molar de etanol na alimentação: z_F = 50\% = 0,50.
  • Fração molar de etanol no destilado: x_D = 70\% = 0,70.
  • Fração molar de etanol no fundo (produto de fundo): x_W = 1\% = 0,01.
O que a questão pede:
  • Realizar o balanço material completo da coluna, ou seja, determinar as vazões molares do destilado D e do fundo W (em \mathrm{mol\\ min^{-1}}) que satisfazem os balanços.

Passo 2

Definimos as incógnitas e escrevemos as equações de balanço apropriadas.
  • Variáveis:
    • F = vazão da alimentação ( \mathrm{mol\\ min^{-1}}).
    • D = vazão do destilado ( \mathrm{mol\\ min^{-1}}).
    • W = vazão do fundo ( \mathrm{mol\\ min^{-1}}).
    • z_F, x_D, x_W = frações molares de etanol na alimentação, destilado e fundo, respectivamente.
  • Leis de conservação (estado estacionário, sem acumulação):
    1. Balanço global (átomo-massa total): a vazão total entra igual à soma das vazões que saem: F = D + W.Explicação rápida: massa (ou número de mols) não se perde; o total de mols por minuto que entra tem que sair distribuído entre destilado e fundo.
    2. Balanço do componente etanol: mols de etanol que entram = mols de etanol que saem: F\,z_F = D\,x_D + W\,x_W.Explicação: multiplicando a vazão total pela fração molar obtém-se a vazão molar do componente etanol; isso deve se distribuir entre os dois produtos.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos nas equações acima.
  • Balanço total: 100 = D + W.
  • Balanço do etanol: 100\cdot 0,50 = D\cdot 0,70 + W\cdot 0,01.Calculando o lado esquerdo: 100\cdot 0,50 = 50.Portanto a equação do etanol fica 0,70\,D + 0,01\,W = 50.

Passo 4

Resolvemos o sistema de duas equações lineares em D e W. Usarei o método da substituição.
  • Da equação total isolamos W: W = 100 - D.
  • Substituímos em 0,70\,D + 0,01\,W = 50: 0,70\,D + 0,01(100 - D) = 50.
  • Expandindo e simplificando passo a passo: 0,70\,D + 1 - 0,01\,D = 50,
(0,70 - 0,01)\,D + 1 = 50,
0,69\,D + 1 = 50,
0,69\,D = 49.
  • Isolando D: D = \frac{49}{0,69}.Fazendo a divisão: D \approx 71,01449275\\ \mathrm{mol\\ min^{-1}}.Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): D \approx 71,01\\ \mathrm{mol\\ min^{-1}}.

Passo 5

Calculamos W usando W = 100 - D:
W = 100 - 71,01449275 \approx 28,98550725\\ \mathrm{mol\\ min^{-1}}.
Arredondando:
W \approx 28,99\\ \mathrm{mol\\ min^{-1}}.

Passo 6

Fazemos uma checagem rápida do balanço do etanol para garantir consistência:
  • Etanol no destilado: 0,70\cdot 71,01449275 \approx 49,710144.
  • Etanol no fundo: 0,01\cdot 28,98550725 \approx 0,289855.
  • Soma: 49,710144 + 0,289855 \approx 50,000000, que coincide com os 50 mol/min de etanol que entram (confirmação do cálculo).
Um comentário prático: a técnica usada aqui (duas equações lineares: balanço total e balanço do componente) é a ferramenta padrão para problemas simples de separação em regime estacionário com uma alimentação e dois produtos. Dá para resolver sem calculadora pesada — em prova, organize as equações, faça substituição e cuide da aritmética com calma.

Resposta

D = 71,01\\ \mathrm{mol\;min^{-1}}
W = 28,99\\ \mathrm{mol\;min^{-1}}

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