Two moles of a particular single-component system are found to have a dependence of internal energy U on pressure and volume given by
U=A P V^{2} \quad(\text { for } N=2)
Note that doubling the system doubles the volume, energy, and mole number, but leaves the pressure unaltered. Write the complete dependence of U on P, V, and N for arbitrary mole number.

Passo 1

O enunciado dá uma expressão para a energia interna quando há exatamente duas mols:
U = A P V^{2}\quad(\text{para }N=2).
Informações e pedidos claros:
  • Dados: a constante A (fixa), a pressão P, o volume total V e o número de mols N.
  • Observação importante dada: dobrar o sistema (isto é, duplicar N) dobra também V e U, enquanto P permanece inalterada.
  • Pedido: escrever a dependência completa U(P,V,N) válida para N arbitrário, respeitando a observação de escala (extensividade).

Passo 2

Entendendo a observação de escala (extensividade) de forma simples e prática.
  • Variáveis intensivas são aquelas que não mudam ao duplicar o sistema; aqui é dito que P é intensiva (fica igual).
  • Variáveis extensivas mudam ao duplicar o sistema: V, N e U são extensivas.
  • Uma forma prática de construir uma função extensiva é escrevê-la como U=N\cdot u, onde u é a energia interna por mol (molar) e pode depender de variáveis intensivas e de grandezas específicas por mol.

Passo 3

Introduzir a variável “volume molar” (ou volume específico por mol) para separar dependências extensiva/intensiva.
  • Definir o volume molar \displaystyle v=\frac{V}{N}. Aqui v é uma grandeza intensiva (não muda se duplicar o sistema, desde que V e N sejam duplicados).
  • Então a forma geral extensiva pode ser escrita como
U(P,V,N)=N\;u\!\bigl(P,v\bigr)=N\;u\!\bigl(P,\tfrac{V}{N}\bigr),
onde u é a energia por mol, função de P e de v.

Passo 4

Usar o caso conhecido N=2 para determinar a forma de u(P,v).
  • Para N=2 temos v=\dfrac{V}{2} e a expressão dada é
U(P,V,2)=A P V^{2}.
  • Pela escrita molar:
U(P,V,2)=2\;u\!\bigl(P,\tfrac{V}{2}\bigr).
  • Igualando as duas formas:
2\;u\!\bigl(P,\tfrac{V}{2}\bigr)=A P V^{2}.

Passo 5

Resolver para u(P,v) explicitamente substituindo v=\dfrac{V}{2}.
  • Escrever V em termos de v: quando N=2, v=\dfrac{V}{2}\Rightarrow V=2v.
  • Substituir em A P V^{2}:
A P V^{2}=A P (2v)^{2}=A P \cdot 4 v^{2}.
  • Da igualdade do Passo 4:
2\;u(P,v)=4 A P v^{2}\quad\Rightarrow\quad u(P,v)=2 A P v^{2}.
Assim encontramos a energia por mol u em função de P e do volume molar v.

Passo 6

Voltar para a forma extensiva geral U=N\,u(P,V/N) e substituir u.
  • Substituindo u(P,v)=2 A P v^{2} com v=\dfrac{V}{N}:
U(P,V,N)=N\cdot 2 A P \left(\dfrac{V}{N}\right)^{2}.
  • Simplificar a expressão:
U(P,V,N)=2 A P \, N \cdot \dfrac{V^{2}}{N^{2}}= \dfrac{2 A P V^{2}}{N}.

Passo 7

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Para N=2: \displaystyle U=\dfrac{2 A P V^{2}}{2}=A P V^{2}, bate com o enunciado.
  • Escala: se V e N são ambos multiplicados por \lambda (doublagem corresponde a \lambda=2), então
U'=\dfrac{2A P (\lambda V)^{2}}{\lambda N}=\lambda\;\dfrac{2A P V^{2}}{N}=\lambda U,
ou seja, U escala linearmente com o tamanho do sistema como exigido.

Resposta

U(P,V,N)=\dfrac{2A P V^{2}}{N}

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