Two moles of a particular single-component system are found to have a dependence of internal energy
on pressure and volume given by
Note that doubling the system doubles the volume, energy, and mole number, but leaves the pressure unaltered. Write the complete dependence of
on
, and
for arbitrary mole number.
Passo 1
O enunciado dá uma expressão para a energia interna quando há exatamente duas mols:
Informações e pedidos claros:
- Dados: a constante
(fixa), a pressão , o volume total e o número de mols . - Observação importante dada: dobrar o sistema (isto é, duplicar
) dobra também e , enquanto permanece inalterada. - Pedido: escrever a dependência completa
válida para arbitrário, respeitando a observação de escala (extensividade).
Passo 2
Entendendo a observação de escala (extensividade) de forma simples e prática.
- Variáveis intensivas são aquelas que não mudam ao duplicar o sistema; aqui é dito que
é intensiva (fica igual). - Variáveis extensivas mudam ao duplicar o sistema:
, e são extensivas. - Uma forma prática de construir uma função extensiva é escrevê-la como
, onde é a energia interna por mol (molar) e pode depender de variáveis intensivas e de grandezas específicas por mol.
Passo 3
Introduzir a variável “volume molar” (ou volume específico por mol) para separar dependências extensiva/intensiva.
- Definir o volume molar
. Aqui é uma grandeza intensiva (não muda se duplicar o sistema, desde que e sejam duplicados). - Então a forma geral extensiva pode ser escrita como
onde
é a energia por mol, função de
e de
.
Passo 4
Usar o caso conhecido
para determinar a forma de
.
- Para
temos e a expressão dada é
- Pela escrita molar:
- Igualando as duas formas:
Passo 5
Resolver para
explicitamente substituindo
.
- Escrever
em termos de : quando , . - Substituir em
:
- Da igualdade do Passo 4:
Assim encontramos a energia por mol
em função de
e do volume molar
.
Passo 6
Voltar para a forma extensiva geral
e substituir
.
- Substituindo
com :
- Simplificar a expressão:
Passo 7
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
- Para
: , bate com o enunciado. - Escala: se
e são ambos multiplicados por (doublagem corresponde a ), então
ou seja,
escala linearmente com o tamanho do sistema como exigido.