For a particular system it is found that if the volume is kept constant at the value V_{0} and the pressure is changed from P_{0} to an arbitrary pressure P^{\prime}, the heat transfer to the system is
Q^{\prime}=A\left(P^{\prime}-P_{0}\right) \quad(A>0)
In addition it is known that the adiabats of the system are of the form
P V^{r}=\text { constant }(\gamma \text { a positive constant })
Find the energy U(P, V) for an arbitrary point in the P-V plane, expressing U(P, V) in terms of P_{0}, V_{0}, A, U_{0}=U\left(P_{0}, V_{0}\right) and \gamma (as well as P and V ).
U-U_{0}=A\left(P r^{\gamma}-P_{0}\right)+[P V /(\gamma-1)]\left(1-r^{\gamma-1}\right) \quad \text { where } r \equiv V / V_{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma função U(P,V):
  • Dado: se o volume é mantido constante em V_{0} e a pressão muda de P_{0} para P', o calor fornecido é
Q' = A\left(P' - P_{0}\right),\qquad (A>0).
  • Dado: as adiabatas do sistema são da forma
P V^{\gamma}=\text{constante},\qquad (\gamma>0).
  • Dado inicial de referência: U_{0}=U(P_{0},V_{0}).
  • Pedido: determinar U(P,V) para um ponto arbitrário (P,V) do plano P\!-\!V, expressando o resultado em termos de P_{0},V_{0},A,U_{0},\gamma,P,V. No resultado final usar r\equiv V/V_{0}.

Passo 2

Ideia física e ferramenta principal (sem resolver ainda): a energia interna U é uma função de estado. Pela Primeira Lei da Termodinâmica (para processo reversível, mas vale para variação de estado em geral),
dU=\delta Q - P\,dV,
onde \delta Q é o calor trocado (não uma diferencial exata em geral), P\,dV é o trabalho de pressão. Como U é função de estado, podemos escolher um caminho conveniente entre (P_{0},V_{0}) e (P,V) para calcular a variação U-U_{0}.

Passo 3

Determinar a informação utilizável sobre \partial U/\partial P a volume constante. Se mudamos P mantendo V=V_{0} fixo, temos dV=0 e, pela Primeira Lei,
dU\big|_{V=V_{0}} = \delta Q\big|_{V=V_{0}}.
Pela relação dada para calor a volume fixo, um pequeno incremento em P produz
\delta Q\big|_{V=V_{0}} = A\,dP.
Logo, a derivada parcial de U em relação a P a volume constante é
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{V} = A.
Isto significa que, para qualquer volume fixo V, variar P produz dU=A\,dP naquele caminho.

Passo 4

Escolha de um caminho prático entre (P_{0},V_{0}) e (P,V):
  • Fazer primeiro um processo a volume constante V_{0} de P_{0} para P_{1}, obtendo U(P_{1},V_{0}).
  • Depois seguir a partir de (P_{1},V_{0}) até (P,V) ao longo de uma adiabat (onde \delta Q=0).
Como U é função de estado, o resultado não depende do caminho escolhido. Devemos escolher P_{1} de modo que a adiabat que atravessa (P_{1},V_{0}) atinja o ponto (P,V). A constante da adiabat é P_{1}V_{0}^{\gamma}; para que essa adiabat passe por (P,V) precisa valer
P_{1}V_{0}^{\gamma} = P V^{\gamma}.
Portanto
P_{1} = P\left(\frac{V}{V_{0}}\right)^{\gamma} = P\,r^{\gamma},
onde definimos r\equiv V/V_{0}.

Passo 5

Calcular a variação de energia no primeiro trecho (à V=V_{0}) usando \left(\partial U/\partial P\right)_{V}=A:
U(P_{1},V_{0})-U_{0} = \int_{P_{0}}^{P_{1}} \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{V_{0}} dP' = \int_{P_{0}}^{P_{1}} A\,dP' = A\left(P_{1}-P_{0}\right).
Substituindo P_{1}=P r^{\gamma},
U(P_{1},V_{0})-U_{0} = A\left(P r^{\gamma}-P_{0}\right).

Passo 6

Calcular a variação de energia no segundo trecho (adiabático de V_{0} até V). Numa adiabat \delta Q=0, logo pela Primeira Lei:
dU = -P\,dV \quad\text{ao longo da adiabat.}
Na adiabat que passa por (P,V) a constante é P V^{\gamma}, então a pressão ao longo dela, como função do volume V', é
P_{\text{adi}}(V')=\frac{P V^{\gamma}}{V'^{\gamma}}.
Assim a variação de U de V_{0} a V é
U(P,V)-U(P_{1},V_{0}) = -\int_{V_{0}}^{V} P_{\text{adi}}(V')\,dV' = -P V^{\gamma}\int_{V_{0}}^{V} V'^{-\gamma}\,dV'.

Passo 7

Avaliar a integral (assumindo \gamma\neq 1; o caso \gamma=1 seria tratado separadamente):
\int_{V_{0}}^{V} V'^{-\gamma}\,dV' = \left[\frac{V'^{\,1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_{0}}^{V} = \frac{V^{\,1-\gamma}-V_{0}^{\,1-\gamma}}{1-\gamma}.
Portanto
U(P,V)-U(P_{1},V_{0}) = -P V^{\gamma}\cdot\frac{V^{\,1-\gamma}-V_{0}^{\,1-\gamma}}{1-\gamma}.
Simplificando, note que V^{\gamma}V^{1-\gamma}=V e V^{\gamma}V_{0}^{\,1-\gamma}=V\left(\dfrac{V}{V_{0}}\right)^{\gamma-1}=V\,r^{\gamma-1}. Assim
U(P,V)-U(P_{1},V_{0}) = -\frac{P}{1-\gamma}\left(V - V\,r^{\gamma-1}\right).
Como 1-\gamma=-(\gamma-1), isso vira
U(P,V)-U(P_{1},V_{0}) = \frac{P V}{\gamma-1}\left(1-r^{\gamma-1}\right).

Passo 8

Somando as duas variações (trecho 1 + trecho 2) obtemos a variação total desde (P_{0},V_{0}) até (P,V):
\begin{aligned} U(P,V)-U_{0} &= \big[U(P_{1},V_{0})-U_{0}\big] + \big[U(P,V)-U(P_{1},V_{0})\big] \\\ &= A\left(P r^{\gamma}-P_{0}\right) + \frac{P V}{\gamma-1}\left(1-r^{\gamma-1}\right), \end{aligned}
com r\equiv V/V_{0}. Esta é a expressão pedida (válida para \gamma\neq1; para \gamma=1 a integral exige tratamento limítrofe).

Resposta

U-U_{0}=A\left(P r^{\gamma}-P_{0}\right)+\frac{P V}{\gamma-1}\left(1-r^{\gamma-1}\right)\quad\text{onde}\quad r\equiv \frac{V}{V_{0}}.

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