For a particular system it is found that if the volume is kept constant at the value V_{0} and the pressure is changed from P_{0} to an arbitrary pressure P^{\prime}, the heat transfer to the system is
In addition it is known that the adiabats of the system are of the form
P V^{r}=\text { constant }(\gamma \text { a positive constant })
Find the energy U(P, V) for an arbitrary point in the P-V plane, expressing U(P, V) in terms of P_{0}, V_{0}, A, U_{0}=U\left(P_{0}, V_{0}\right) and \gamma (as well as P and V ).
U-U_{0}=A\left(P r^{\gamma}-P_{0}\right)+[P V /(\gamma-1)]\left(1-r^{\gamma-1}\right) \quad \text { where } r \equiv V / V_{0}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma função U(P,V):
Dado: se o volume é mantido constante em V_{0} e a pressão muda de P_{0} para P', o calor fornecido é
Q' = A\left(P' - P_{0}\right),\qquad (A>0).
Dado: as adiabatas do sistema são da forma
P V^{\gamma}=\text{constante},\qquad (\gamma>0).
Dado inicial de referência: U_{0}=U(P_{0},V_{0}).
Pedido: determinar U(P,V) para um ponto arbitrário (P,V) do plano P\!-\!V, expressando o resultado em termos de P_{0},V_{0},A,U_{0},\gamma,P,V. No resultado final usar r\equiv V/V_{0}.
Passo 2
Ideia física e ferramenta principal (sem resolver ainda): a energia interna U é uma função de estado. Pela Primeira Lei da Termodinâmica (para processo reversível, mas vale para variação de estado em geral),
dU=\delta Q - P\,dV,
onde \delta Q é o calor trocado (não uma diferencial exata em geral), P\,dV é o trabalho de pressão. Como U é função de estado, podemos escolher um caminho conveniente entre (P_{0},V_{0}) e (P,V) para calcular a variação U-U_{0}.
Passo 3
Determinar a informação utilizável sobre \partial U/\partial P a volume constante. Se mudamos P mantendo V=V_{0} fixo, temos dV=0 e, pela Primeira Lei,
dU\big|_{V=V_{0}} = \delta Q\big|_{V=V_{0}}.
Pela relação dada para calor a volume fixo, um pequeno incremento em P produz
\delta Q\big|_{V=V_{0}} = A\,dP.
Logo, a derivada parcial de U em relação a P a volume constante é
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{V} = A.
Isto significa que, para qualquer volume fixo V, variar P produz dU=A\,dP naquele caminho.
Passo 4
Escolha de um caminho prático entre (P_{0},V_{0}) e (P,V):
Fazer primeiro um processo a volume constante V_{0} de P_{0} para P_{1}, obtendo U(P_{1},V_{0}).
Depois seguir a partir de (P_{1},V_{0}) até (P,V) ao longo de uma adiabat (onde \delta Q=0).
Como U é função de estado, o resultado não depende do caminho escolhido. Devemos escolher P_{1} de modo que a adiabat que atravessa (P_{1},V_{0}) atinja o ponto (P,V). A constante da adiabat é P_{1}V_{0}^{\gamma}; para que essa adiabat passe por (P,V) precisa valer