Exercício 36. Um tambor cilíndrico possui 4 m de diâmetro, contém 8 m de coluna de água e uma perfuração de 5 mm de diâmetro a aproximadamente 0 m de altura em sua parede. Considerando-se Cd igual a 0,95, calcular o tempo para esvaziamento total.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo de esvaziamento total do tambor:
- diâmetro do tambor:
; - altura (coluna) inicial de água:
; - diâmetro da perfuração:
; - a perfuração está aproximadamente a
de altura (ou seja, na região do fundo); - coeficiente de descarga:
.
O objetivo é calcular o tempo totalaté que o tambor fique vazio (altura ).
Passo 2
Vamos entender fisicamente o que controla a saída de água:
- A velocidade de saída ideal (sem perdas) para um jorro saindo por um orifício devido à altura
é dada pela fórmula de Torricelli:
onde
é a aceleração da gravidade (
). Isso vem do balanço de energia (Bernoulli) entre a superfície livre e a saída: a energia potencial se transforma em energia cinética.
- Na prática usa-se um coeficiente de descarga
que reduz a velocidade efetiva e/ou a vazão por efeitos de contração e perdas localizadas. Assim a vazão volumétrica real é:
onde
é a área do orifício.
- A área do orifício vale
- A área da seção horizontal do tambor (assumindo cilindro direito) é
Passo 3
Agora montamos a equação diferencial que descreve o esvaziamento:
- Volume de água no tambor:
. - Taxa de variação do volume:
. - Saída de água:
(sinal negativo porque diminui).
Igualando:
Separamos variáveis para integrar:
Passo 4
Integramos desde
até
para obter o tempo total
:
- Integral no lado esquerdo:
- Integral no lado direito:
Igualando os dois resultados (os sinais negativos se cancelam):
Logo
Podemos simplificar observando que
cancela os
:
Passo 5
Agora fazemos as contas numéricas passo a passo:
- Valor de
:
- Multiplicando por
:
- Calculamos
:
- Produto no denominador:
- Numerador
:
- Finalmente o tempo:
Convertendo para horas e dias:
Observação motivadora: deu um número grande porque o orifício é muito pequeno comparado à seção do tambor — faz sentido físico.
Passo 6
Resumo das suposições feitas (para ficar esperto na prova):
- Usamos a fórmula de Torricelli e um coeficiente de descarga constante
. - Consideramos o orifício na base (altura ~
), e que a superfície livre está sempre aberta à atmosfera (mesma pressão). - Negligenciamos variações dinâmicas como vibrações, ar aprisionado ou fluxo transiente que quebrem a hipótese de escoamento quasi-estacionário pela pequena abertura. Essas são hipóteses padrão para esse tipo de problema de esvaziamento.