Exercício 1: Um gás ideal monoatômico (\gamma=5 / 3) executa o ciclo mostrado abaixo:
1 \rightarrow 2 : Expansão adiabática até triplicar o volume.
2 \rightarrow 3 : Processo isobárico até o volume voltar ao inicial.
3 \rightarrow 1 : Compressão isocórica até a pressão inicial.
Sabendo que no estado 1 a pressão é \mathrm{P} 1=2 \mathrm{~atm} e o volume \mathrm{V} 1=10 \mathrm{~L}, determine:
a) O trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
b) O calor total absorvido pelo gás.
c) A eficiência do ciclo.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal monoatômico ( \gamma = 5/3) que executa o ciclo com três passos:
  • Estado 1: \;P_1 = 2\\ \mathrm{atm},\; V_1 = 10\\ \mathrm{L}.
  • 1\to2: expansão adiabática até triplicar o volume, então \;V_2 = 3 V_1 = 30\\ \mathrm{L}.
  • 2\to3: processo isobárico (pressão constante) até o volume voltar ao inicial, logo \;V_3 = V_1 = 10\\ \mathrm{L} e P_3 = P_2.
  • 3\to1: compressão isocórica (volume constante) até a pressão inicial \;P_1.
O que o problema pede:
a) O trabalho total realizado pelo gás no ciclo (isto é, trabalho líquido por ciclo).
b) O calor total absorvido pelo gás (interpreto como o calor absorvido do reservatório quente — isto é, a soma dos Q>0 durante o ciclo, usado depois para calcular eficiência).
c) A eficiência do ciclo \eta = \dfrac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}}í.
Dados úteis que vamos precisar (serão usados mais adiante):
  • Relação adiabática para gás ideal reversível: \;P V^{\gamma}=\text{constante}.
  • Trabalho em adiabático reversível (entre 1 e 2): \;W_{1\to2}=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}.
  • Trabalho em isobárico: \;W_{2\to3}=P_2\,(V_3-V_2).
  • Trabalho em isocórico: \;W_{3\to1}=0.
  • Calores: isobárico \;Q_{2\to3}=n C_P (T_3-T_2) e isocórico \;Q_{3\to1}=n C_V (T_1-T_3). Usarei as relações com C_P/R e C_V/R para evitar calcular n e T separadamente.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Determinar P_2 usando a adiabática \;P_1 V_1^{\gamma}=P_2 V_2^{\gamma}.
Escrevendo e isolando P_2:
P_2 = P_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma} = P_1\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\gamma} = 2\\ \mathrm{atm}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5/3}.
Calculemos numericamente \left(\dfrac{1}{3}\right)^{5/3}. Usando um cálculo numérico:
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5/3}\approx 0{,}160254\quad\Rightarrow\quad P_2 \approx 2\times0{,}160254 = 0{,}320508\\ \mathrm{atm}.
Verificação intermediária (produto P V em cada estado, útil depois):
P_1V_1 = 2\times10 = 20{,}\\ \mathrm{atm\cdot L}, \qquad P_2V_2 \approx 0{,}320508\times30 \approx 9{,}61524\\ \mathrm{atm\cdot L}.

Passo 3

Calcular o trabalho no trecho adiabático 1\to2.
Fórmula:
W_{1\to2}=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}.
Substituindo \gamma-1 = \dfrac{2}{3}:
W_{1\to2} = \dfrac{20 - 9{,}61524}{2/3} = \dfrac{10{,}38476}{2/3} = 10{,}38476\times\frac{3}{2}=15{,}57714\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Converter para joules:
W_{1\to2}\approx 15{,}57714\times101{,}325 \approx 1{,}578{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{J}\quad(\text{ou }1578{,}2\\ \mathrm{J}).

Passo 4

Calcular o trabalho no trecho isobárico 2\to3.
Fórmula:
W_{2\to3}=P_2\,(V_3-V_2).
Substituindo os valores:
W_{2\to3} \approx 0{,}320508\times(10-30)=0{,}320508\times(-20)=-6{,}41016\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Converter para joules:
W_{2\to3}\approx -6{,}41016\times101{,}325 \approx -649{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Trabalho no trecho isocórico 3\to1 é zero:
W_{3\to1}=0.
Trabalho total (líquido) do ciclo:
W_{\text{total}} = W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to1} =15{,}57714-6{,}41016+0=9{,}16698\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Converter para joules:
W_{\text{total}}\approx 9{,}16698\times101{,}325 \approx 929{,}0\\ \mathrm{J}.
Comentário breve de interpretação: trabalho positivo indica trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo (energia extraída como trabalho).

Passo 6

Calores: primeiro note que em adiabático 1\to2 vale Q_{1\to2}=0.
Calcular Q_{2\to3} (isobárico). Usaremos Q_{2\to3}=n C_P (T_3-T_2).
Usando a relação P\Delta V = nR\Delta T e substituindo \Delta T em Q:
Q_{2\to3} = n C_P \Delta T = \dfrac{C_P}{R}\,P_2\,(V_3-V_2).
Para gás monoatômico C_P/R = \dfrac{\gamma}{\gamma-1} = \dfrac{5/3}{2/3}=\dfrac{5}{2}=2{,}5. Logo:
Q_{2\to3} = 2{,}5\times P_2\times(V_3-V_2) =2{,}5\times0{,}320508\times(-20) = -16{,}0254\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Converter:
Q_{2\to3}\approx -16{,}0254\times101{,}325 \approx -1{,}624{,}9\\ \mathrm{J}.
Sinal negativo: calor liberado pelo gás (o gás perde calor nesse passo).

Passo 7

Calcular Q_{3\to1} (isocórico). Em isocórico, Q_{3\to1}=n C_V (T_1-T_3).
Podemos usar nR T = P V para eliminar T. Assim:
Q_{3\to1} = \dfrac{C_V}{R}\,(P_1V_1-P_3V_3).
Como V_3=V_1 e P_3=P_2:
Q_{3\to1} = \dfrac{C_V}{R}\,V_1\,(P_1-P_2).
Para monoatômico C_V/R = \dfrac{3}{2}=1{,}5. Então:
Q_{3\to1}=1{,}5\times10\times(2-0{,}320508)=1{,}5\times10\times1{,}679492 =25{,}19238\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Converter para joules:
Q_{3\to1}\approx 25{,}19238\times101{,}325 \approx 2{,}553{,}0\\ \mathrm{J}.
Sinal positivo: calor absorvido pelo gás nesse trecho.

Passo 8

Determinar o calor total absorvido pelo gás (a entrada de calor que serve de base para eficiência).
Conforme explicado, só existem dois trechos com troca de calor: 2\to3 (calor negativo, perdido) e 3\to1 (calor positivo, absorvido). O enunciado pede o “calor total absorvido pelo gás” no sentido usual de termodinâmica para eficiência: somamos apenas os calores positivos recebidos pelo gás durante o ciclo. Aqui o único Q>0 é Q_{3\to1}. Portanto:
Q_{\text{absorvido}} = Q_{3\to1} \approx 2{,}553{,}0\\ \mathrm{J}.
Observação: o calor líquido Q_{\text{líquido}} = Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to1} = 0-1{,}624{,}9+2{,}553{,}0 \approx 929{,}0\\ \mathrm{J}í, que coincide com o trabalho total — verificação da primeira lei ( \Delta U_{\text{ciclo}}=0).

Passo 9

Calcular a eficiência do ciclo \eta. Definição:
\eta = \dfrac{W_{\text{total}}}{Q_{\text{absorvido}}}.
Substituindo os valores:
\eta \approx \dfrac{929{,}0}{2{,}553{,}0} \approx 0{,}3639 \approx 36{,}39\%.
Arredondando para três algarismos significativos obtemos \eta \approx 36{,}4\%.

Resposta

(a) W_{\text{total}} \approx 929{,}0\\ \mathrm{J}
(b) Q_{\text{absorvido}} \approx 2{,}553{,}0\\ \mathrm{J}
(c) \eta \approx 36{,}4\%

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