Exercício 1: Um gás ideal monoatômico
executa o ciclo mostrado abaixo:
: Expansão adiabática até triplicar o volume.
: Processo isobárico até o volume voltar ao inicial.
: Compressão isocórica até a pressão inicial.
Sabendo que no estado 1 a pressão é
e o volume
, determine:
a) O trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
b) O calor total absorvido pelo gás.
c) A eficiência do ciclo.
Sabendo que no estado 1 a pressão é
a) O trabalho total realizado pelo gás no ciclo.
b) O calor total absorvido pelo gás.
c) A eficiência do ciclo.
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal monoatômico (
) que executa o ciclo com três passos:
- Estado 1:
. -
: expansão adiabática até triplicar o volume, então . -
: processo isobárico (pressão constante) até o volume voltar ao inicial, logo e . -
: compressão isocórica (volume constante) até a pressão inicial .
O que o problema pede:
a) O trabalho total realizado pelo gás no ciclo (isto é, trabalho líquido por ciclo).
b) O calor total absorvido pelo gás (interpreto como o calor absorvido do reservatório quente — isto é, a soma dos durante o ciclo, usado depois para calcular eficiência).
c) A eficiência do ciclo .
a) O trabalho total realizado pelo gás no ciclo (isto é, trabalho líquido por ciclo).
b) O calor total absorvido pelo gás (interpreto como o calor absorvido do reservatório quente — isto é, a soma dos
c) A eficiência do ciclo
Dados úteis que vamos precisar (serão usados mais adiante):
- Relação adiabática para gás ideal reversível:
. - Trabalho em adiabático reversível (entre 1 e 2):
. - Trabalho em isobárico:
. - Trabalho em isocórico:
. - Calores: isobárico
e isocórico . Usarei as relações com e para evitar calcular e separadamente. - Conversão:
.
Passo 2
Determinar
usando a adiabática
.
Escrevendo e isolando
:
Calculemos numericamente
. Usando um cálculo numérico:
Verificação intermediária (produto
em cada estado, útil depois):
Passo 3
Calcular o trabalho no trecho adiabático
.
Fórmula:
Fórmula:
Substituindo
:
Converter para joules:
Passo 4
Calcular o trabalho no trecho isobárico
.
Fórmula:
Fórmula:
Substituindo os valores:
Converter para joules:
Passo 5
Trabalho no trecho isocórico
é zero:
Trabalho total (líquido) do ciclo:
Converter para joules:
Comentário breve de interpretação: trabalho positivo indica trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo (energia extraída como trabalho).
Passo 6
Calores: primeiro note que em adiabático
vale
.
Calcular
(isobárico). Usaremos
.
Usando a relação e substituindo
em
:
Usando a relação
Para gás monoatômico
. Logo:
Converter:
Sinal negativo: calor liberado pelo gás (o gás perde calor nesse passo).
Passo 7
Calcular
(isocórico). Em isocórico,
.
Podemos usar para eliminar
. Assim:
Podemos usar
Como
e
:
Para monoatômico
. Então:
Converter para joules:
Sinal positivo: calor absorvido pelo gás nesse trecho.
Passo 8
Determinar o calor total absorvido pelo gás (a entrada de calor que serve de base para eficiência).
Conforme explicado, só existem dois trechos com troca de calor: (calor negativo, perdido) e
(calor positivo, absorvido). O enunciado pede o “calor total absorvido pelo gás” no sentido usual de termodinâmica para eficiência: somamos apenas os calores positivos recebidos pelo gás durante o ciclo. Aqui o único
é
. Portanto:
Conforme explicado, só existem dois trechos com troca de calor:
Observação: o calor líquido
, que coincide com o trabalho total — verificação da primeira lei (
).
Passo 9
Calcular a eficiência do ciclo
. Definição:
Substituindo os valores:
Arredondando para três algarismos significativos obtemos
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)