*:Exercício 4. Determine a queda de pressão por unidade de comprimento de um escoamento plenamente desenvolvido em um tubo horizontal de concreto de 10 m de comprimento de seção transversal quadrada de lado igual a 1,15 \mathrm{~m}. A vazão volumétrica da água é de 20,4 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-1} e é fornecida por uma bomba.
Dados: \rho=998 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} ; v=1,004 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a queda de pressão por unidade de comprimento (ou seja, \Delta p / L) de um escoamento plenamente desenvolvido em um tubo horizontal de seção quadrada. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Q = 20{,}4\\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}},\qquad \text{lado do quadrado } a = 1{,}15\\ \mathrm{m},
L = 10\\ \mathrm{m}\\ (\text{comprimento do tubo, não é necessário para } \Delta p/L),ãéá
\rho = 998\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},\qquad \nu = 1{,}004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}\cdot s^{-1}}.
Pergunta: calcular \Delta p / L (queda de pressão por metro).

Passo 2

Calcular a velocidade média do escoamento. Primeiro a área da seção transversal:
A = a^{2} = \left(1{,}15\right)^{2} = 1{,}3225\\ \mathrm{m^{2}}.
A velocidade média (vazão dividida pela área) é
U = \frac{Q}{A} = \frac{20{,}4}{1{,}3225} \approx 15{,}425\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Explicação didática: a velocidade média é simplesmente quanto volume passa por segundo dividido pela área disponível. Na prova, calcule A e depois divida Q por A.

Passo 3

Determinar o diâmetro hidráulico \,D_h da seção quadrada. Fórmula geral do diâmetro hidráulico:
D_h = \frac{4A}{P},
onde A é a área da seção e P é o perímetro molhado. Para um quadrado de lado a,
A = a^{2},\qquad P = 4a,
logo
D_h = \frac{4a^{2}}{4a} = a.
Portanto
D_h = 1{,}15\\ \mathrm{m}.
Dica de prova: para seções prisionais (retângulos, quadrados) muitas vezes D_h simplifica; no quadrado ele é igual ao lado.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds para classificar o regime de escoamento. Fórmula:
\text{Re} = \frac{U D_h}{\nu}.
Substituindo:
\text{Re} = \frac{15{,}425\cdot 1{,}15}{1{,}004\times 10^{-6}} \approx 1{,}77\times 10^{7}.
Interpretação: \text{Re} é enorme, logo o escoamento é claramente turbulento. Na prova: sempre verifique \text{Re} antes de escolher a fórmula do fator de atrito.

Passo 5

Escolher fórmula para o fator de atrito f. Para escoamento turbulento em condutos rugosos usa-se a equação implícita de Colebrook; uma forma explícita muito usada é a fórmula de Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} + \frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui \varepsilon é a rugosidade absoluta do material do conduto. O enunciado não deu \varepsilon; como precisamos de um valor numérico, vou adotar um valor típico para concreto projetado/assentado em hidráulica: \varepsilon = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} (valor comumente usado em problemas de engenharia; se na prova der \varepsilon use esse valor). Calculamos a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D_h} = \frac{1{,}0\times 10^{-3}}{1{,}15} \approx 8{,}70\times 10^{-4}.
Agora aplicamos Swamee–Jain. Primeiro o termo dentro do log:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} = \frac{1{,}0\times 10^{-3}}{3{,}7\cdot 1{,}15} \approx 2{,}350\times 10^{-4},
\frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{\left(1{,}77\times 10^{7}\right)^{0{,}9}} \approx 1{,}72\times 10^{-6}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_h} + \frac{5{,}74}{\text{Re}^{0{,}9}} \approx 2{,}367\times 10^{-4}.
Aplicando a fórmula:
f \approx \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(2{,}367\times 10^{-4}\right)\right]^{2}} = \frac{0{,}25}{\left(-3{,}6259\right)^{2}} \approx 0{,}01902.
Explicação: o fator f é adimensional e mede a resistência ao escoamento por atrito. Em prova, se não der \varepsilon, use o valor típico do material ou peça ao enunciador; se der \varepsilon, aplique Colebrook ou Swamee–Jain para obter f.

Passo 6

Calcular a queda de pressão por unidade de comprimento usando a equação de Darcy–Weisbach (válida para escoamentos totalmente desenvolvidos):
\frac{\Delta p}{L} = f\;\frac{\rho U^{2}}{2 D_h}.
Substituindo os valores já obtidos:
\rho U^{2} = 998\cdot\left(15{,}425\right)^{2} \approx 998\cdot 237{,}931 \approx 237{,}455\\ \mathrm{Pa},
\frac{\rho U^{2}}{2 D_h} = \frac{237{,}455}{2\cdot 1{,}15} = \frac{237{,}455}{2{,}3} \approx 103{,}244\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}.
Multiplicando pelo fator de atrito:
\frac{\Delta p}{L} \approx 0{,}01902\cdot 103{,}244 \approx 1{,}964{,}5\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três cifras significativas): \approx 1{,}96\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}.

Passo 7

Comentário final e dica de prova: o comprimento total do tubo ( L=10\\ \mathrm{m}) não é necessário quando se pede a queda por unidade de comprimento; para obter a queda total multiplica-se (\Delta p/L)\times L. Sempre verifique regime com \text{Re} e verifique se o enunciado fornece (ou permite assumir) a rugosidade \varepsilon; sem \varepsilon você precisa justificar a suposição que usar.

Resposta

\dfrac{\Delta p}{L}\approx 1{,}96\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}

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