*: Exercício 3. Óleo escoa a 0,2 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-1} através de um tubo de ferro fundido de 500 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. Determine a perda de carga com o valor de fator de atrito f estimado através do de diagrama de Moody e também com o valor de f calculado.
Dados: \rho=900 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} ; v=0,00001 \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de óleo e pede a perda de carga ao longo de um tubo, usando duas formas de obter o fator de atrito f: (1) estimando f no diagrama de Moody e (2) calculando f (via equação de Colebrook / método numérico). Dados fornecidos:
Q=0,2\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}},\quad L=500\\ \mathrm{m},\quad D=200\\ \mathrm{mm}=0,2\\ \mathrm{m},
\rho=900\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},\quad \nu=0,00001\\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.
Observação: o enunciado não fornece a rugosidade absoluta \epsilon do tubo. Para ferro fundido costuma-se usar um valor típico \epsilon=0,26\\ \mathrm{mm}=2,6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. Vou adotar este valor e explicitar quando for usado.

Passo 2

Primeiro calculemos a área da seção e a velocidade média do fluido. Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Calculando:
A=\frac{\pi (0,2)^2}{4}=\pi\cdot 0,01\approx 0,0314159\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média u a partir da vazão:
u=\frac{Q}{A}=\frac{0,2}{0,0314159}\approx 6,3662\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Explicação rápida: a vazão volumétrica Q é a área vezes a velocidade média; rearranjando obtemos u.

Passo 3

Calculemos o número de Reynolds \mathrm{Re} para saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Definição:
\mathrm{Re}=\frac{uD}{\nu},
onde u é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática. Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{6,3662\cdot 0,2}{0,00001}\approx 127324\\ (\approx 1,27\times 10^5).
Interpretação: \mathrm{Re}\gg 4000 — escoamento plenamente turbulento, portanto o atrito depende da rugosidade relativa \epsilon/D e de \mathrm{Re}.

Passo 4

Calculemos a rugosidade relativa:
\frac{\epsilon}{D}=\frac{2,6\times 10^{-4}}{0,2}=0,0013.
Agora, lendo o diagrama de Moody para \mathrm{Re}\approx 1,27\times10^5 e \epsilon/D=0,0013, obtemos um fator de atrito aproximado. Explicando como ler: no Moody você encontra a curva correspondente à \epsilon/D mais próxima e, na abscissa \mathrm{Re}, lê o valor de f na ordenada. Fazendo isso (ou consultando tabelas), a estimativa por Moody é
f_{\text{Moody}}\approx 0,023.
Comentário: a leitura do Moody tende a dar um valor aproximado; a seguir vamos calcular f numericamente para comparar.

Passo 5

Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga em termos de altura (m):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{u^2}{2g},
onde g=9,81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}. Vou calcular primeiro o termo geométrico e a energia cinética dividida por 2g:
\frac{L}{D}=\frac{500}{0,2}=2500,
\frac{u^2}{2g}=\frac{(6,3662)^2}{2\cdot 9,81}=\frac{40,527}{19,62}\approx 2,0662\\ \mathrm{m}.
Logo o fator multiplicativo é
\frac{L}{D}\cdot\frac{u^2}{2g}=2500\cdot 2,0662\approx 5165,5.
Assim h_f=f\cdot 5165,5 (em metros).

Passo 6

Agora calculemos a perda de carga usando o f estimado pelo Moody:
h_{f,\text{Moody}}=f_{\text{Moody}}\cdot 5165,5\approx 0,023\cdot 5165,5\approx 118,8\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com a leitura do Moody a perda de carga ao longo dos 500\\ \mathrm{m} é cerca de 118{,}8\\ \mathrm{m} de coluna de fluido.

Passo 7

Vamos calcular f mais precisamente com a equação implícita de Colebrook (válida para escoamento turbulento em tubos rugosos):
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3,7}+\frac{2,51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Explicação do método: essa equação não isola f explicitamente; resolve-se por iteração (método de ponto fixo) ou usando aproximações explícitas. Vou iterar (fixando como chute inicial o valor do Moody f_0=0,023).
Iteração 1:
\sqrt{f_0}=\sqrt{0,023}=0,15166,\quad \frac{2,51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_0}}=\frac{2,51}{127324\cdot 0,15166}\approx 0,0001300,
\frac{\epsilon/D}{3,7}=\frac{0,0013}{3,7}\approx 0,00035135,
soma dentro do \log_{10}: 0,00035135+0,0001300=0,00048135. Então
\frac{1}{\sqrt{f_1}}=-2\log_{10}(0,00048135)\approx 6,634\quad\Rightarrow\quad \sqrt{f_1}=0,15071,
f_1\approx 0,02271.
Iteração 2:
usando f_1 obtemos rapidamente
f_2\approx 0,02276.
As iterações convergem muito rápido; o valor final fica
f_{\text{calc}}\approx 0,02276.
Comentário: esse resultado é consistente com uma fórmula explícita (Swamee–Jain), que daria valor próximo; a diferença para a leitura do Moody é pequena.

Passo 8

Calculemos a perda de carga usando o f calculado:
h_{f,\text{calc}}=f_{\text{calc}}\cdot 5165,5\approx 0,02276\cdot 5165,5\approx 117,6\\ \mathrm{m}.
Podemos também (opcional) obter a perda de pressão correspondente:
\Delta p=\rho g h_f\approx 900\cdot 9,81\cdot 117,6\approx 1,04\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 1,04\\ \mathrm{MPa}).
Mas o enunciado pediu a perda de carga (normalmente em metros), então os valores principais são os de h_f.

Resposta

Perda de carga com f estimado pelo diagrama de Moody: 118{,}8\\ \mathrm{m}
Perda de carga com f calculado (Colebrook): 117{,}6\\ \mathrm{m}

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