*: Exercício 3. Óleo escoa a
através de um tubo de ferro fundido de 500 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. Determine a perda de carga com o valor de fator de atrito
estimado através do de diagrama de Moody e também com o valor de
calculado.
Dados:
.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento de óleo e pede a perda de carga ao longo de um tubo, usando duas formas de obter o fator de atrito
: (1) estimando
no diagrama de Moody e (2) calculando
(via equação de Colebrook / método numérico). Dados fornecidos:
Observação: o enunciado não fornece a rugosidade absoluta
do tubo. Para ferro fundido costuma-se usar um valor típico
. Vou adotar este valor e explicitar quando for usado.
Passo 2
Primeiro calculemos a área da seção e a velocidade média do fluido. Fórmula da área de um círculo:
Calculando:
Velocidade média
a partir da vazão:
Explicação rápida: a vazão volumétrica
é a área vezes a velocidade média; rearranjando obtemos
.
Passo 3
Calculemos o número de Reynolds
para saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Definição:
onde
é a velocidade média,
o diâmetro e
a viscosidade cinemática. Substituindo:
Interpretação:
— escoamento plenamente turbulento, portanto o atrito depende da rugosidade relativa
e de
.
Passo 4
Calculemos a rugosidade relativa:
Agora, lendo o diagrama de Moody para
e
, obtemos um fator de atrito aproximado. Explicando como ler: no Moody você encontra a curva correspondente à
mais próxima e, na abscissa
, lê o valor de
na ordenada. Fazendo isso (ou consultando tabelas), a estimativa por Moody é
Comentário: a leitura do Moody tende a dar um valor aproximado; a seguir vamos calcular
numericamente para comparar.
Passo 5
Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga em termos de altura (m):
onde
. Vou calcular primeiro o termo geométrico e a energia cinética dividida por
:
Logo o fator multiplicativo é
Assim
(em metros).
Passo 6
Agora calculemos a perda de carga usando o
estimado pelo Moody:
Interpretação: com a leitura do Moody a perda de carga ao longo dos
é cerca de
de coluna de fluido.
Passo 7
Vamos calcular
mais precisamente com a equação implícita de Colebrook (válida para escoamento turbulento em tubos rugosos):
Explicação do método: essa equação não isola
explicitamente; resolve-se por iteração (método de ponto fixo) ou usando aproximações explícitas. Vou iterar (fixando como chute inicial o valor do Moody
).
Iteração 1:
soma dentro do
:
. Então
Iteração 2:
usando obtemos rapidamente
usando
As iterações convergem muito rápido; o valor final fica
Comentário: esse resultado é consistente com uma fórmula explícita (Swamee–Jain), que daria valor próximo; a diferença para a leitura do Moody é pequena.
Passo 8
Calculemos a perda de carga usando o
calculado:
Podemos também (opcional) obter a perda de pressão correspondente:
Mas o enunciado pediu a perda de carga (normalmente em metros), então os valores principais são os de
.
Resposta
Perda de carga com
estimado pelo diagrama de Moody:
Perda de carga com calculado (Colebrook):
Perda de carga com