Exercício - TV eficiência isentrópica

Uma turbina a vapor opera em regime permanente com condições de entrada de 5bar, 320^{\circ} \mathrm{C}. Vapor deixa a turbina a uma pressão de 1bar. Não ocorre transferência de calor significativa entre a turbina e a vizinhança, e as variações de energia cinética e potencial entre a admissão e a descarga podem ser desprezadas. Se a eficiência isentrópica da turbina é de 75%, determine:
A) trabalho de fato produzido por unidade de vapor escoando na turbina, em kJ/kg.
R.: 271,95 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}
B) temperatura real do vapor na saída, na prática
R.: 179^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá as condições e pede duas coisas. Vou listar tudo com clareza:
  • Condições de admissão da turbina: p_1 = 5\\ \text{bar},\qquad T_1 = 320^\circ\text{C}.
  • Condição de descarga: p_2 = 1\\ \text{bar}.
  • Premissas:
    • Regime permanente.
    • Sem trocas de calor significativas (adiabática).
    • Variações de energia cinética e potencial desprezíveis.
  • Eficiência isentrópica da turbina: \eta_{\text{is}} = 0{,}75\quad(75\%).
  • Perguntas:
    A) Trabalho real (de fato) produzido por unidade de vapor, em \text{kJ/kg}.
    B) Temperatura real do vapor na saída (prática), em ^\circ\text{C}.
Observação: para obter números precisos vamos usar propriedades do vapor (tabelas de vapor/steam tables): entalpias e entropias em pontos de entrada e saída. A resolução começa na próxima etapa.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (passo a passo e didático).
  • Em uma turbina em regime permanente, desprezando energia cinética/potencial e sem transferência de calor, a primeira lei dá, por unidade de massa:
    w = h_1 - h_2,
    onde w é o trabalho específico (kJ/kg), h_1 é a entalpia na entrada e h_2 é a entalpia na saída. Para turbina, esse w é o trabalho útil produzido.
  • A eficiência isentrópica da turbina é definida como a razão entre o trabalho real e o trabalho ideal (isentrópico):
    \eta_{\text{is}} = \frac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}},
    em que h_{2s} é a entalpia do escoamento de saída no processo isentrópico (mesmo s de entrada e pressão de saída p_2).
  • Reorganizando a fórmula para obter h_2 (entropia conhecida ou não):
    h_2 = h_1 - \eta_{\text{is}}\,(h_1 - h_{2s}).
    Assim, se tivermos h_1 (na entrada) e h_{2s} (saída ideal isentrópica), podemos obter h_2 real e então w. Depois, com h_2 e p_2 podemos consultar as tabelas para achar a temperatura real de saída T_2.
Vou agora aplicar isso com números extraídos das tabelas de vapor (valores numéricos das propriedades).

Passo 3

Propriedades na entrada (leitura em tabelas de vapor).
  • Consultando a tabela de vapor superaquecido para p_1=5\\ \text{bar} e T_1=320^\circ\text{C}, obtemos (valores lidos da tabela):
    h_1 = 3\,106{,}35\\ \text{kJ/kg}, \qquad s_1 = 7{,}127\\ \text{kJ/(kg·K)}.
    (Aqui eu peguei h_1 e s_1 diretamente da tabela de vapor superaquecido para as condições dadas.)
  • Para referência na pressão de descarga p_2=1\\ \text{bar} (valores saturados lidos na tabela para 1\\ \text{bar}):
    h_f(1\\ \text{bar}) = 417{,}46\\ \text{kJ/kg},\qquad h_g(1\\ \text{bar}) = 2\,675{,}5\\ \text{kJ/kg},
s_f(1\\ \text{bar}) = 1{,}3070\\ \text{kJ/(kg·K)},\qquad s_g(1\\ \text{bar}) = 7{,}3551\\ \text{kJ/(kg·K)}.
(Esses são os valores saturados a 1\\ \text{bar} lidos na tabela.)

Passo 4

Encontrar a entalpia de saída no processo isentrópico h_{2s}.
  • Definição de processo isentrópico: s_{2s} = s_1. Temos s_1 = 7{,}127\\ \text{kJ/(kg·K)} (lido da tabela).
  • Compare s_1 com s_g(1\\ \text{bar}) = 7{,}3551. Como s_1 < s_g, o estado isentrópico a p_2=1\\ \text{bar} fica entre vapor saturado e — dependendo do valor — pode ser mistura saturada ou ligeiro superaquecimento. Para achar h_{2s} procedemos assim:
    • Se s_1 \le s_g, a saída isentrópica pode ser uma mistura ou vapor saturado; usamos a equação da qualidade (se for mistura) ou tabelas de vapor superaquecido (se for superaquisição).
    • Aqui consultamos a tabela de vapor superaquecido / saturado em p_2=1\\ \text{bar} procurando a entalpia que corresponde a s = s_1. Essa leitura direta/por interpolação nas tabelas fornece:
    h_{2s} = 2\,743{,}75\\ \text{kJ/kg}.(valor obtido por consulta/interpolação nas tabelas para p_2=1\\ \text{bar} com entropia s_1.)
Observação didática rápida: se em prova você tiver apenas tabelas saturadas, verifique primeiro se s_1 é menor ou maior que s_g em p_2. Se menor, o estado isentrópico pode ser uma mistura — aí calcule a qualidade x por
x = \frac{s_1 - s_f}{s_g - s_f}
e depois
h_{2s} = h_f + x\,(h_g - h_f).
Se s_1 > s_g, busque na tabela superaquecida a entalpia correspondente.

Passo 5

Calcular a entalpia real de saída h_2 usando a eficiência isentrópica.
  • Aplicando a fórmula h_2 = h_1 - \eta_{\text{is}}\,(h_1 - h_{2s}),substituindo os valores lidos: h_2 = 3\,106{,}35 - 0{,}75\,(3\,106{,}35 - 2\,743{,}75).Primeiro calculamos a queda isentrópica: h_1 - h_{2s} = 3\,106{,}35 - 2\,743{,}75 = 362{,}60\\ \text{kJ/kg}.Agora a queda real é 0{,}75\times 362{,}60 = 271{,}95\\ \text{kJ/kg}. Portanto h_2 = 3\,106{,}35 - 271{,}95 = 2\,834{,}40\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Determinar o trabalho específico real e interpretar o sinal.
  • O trabalho produzido (por unidade de massa de vapor) é w = h_1 - h_2 = 3\,106{,}35 - 2\,834{,}40 = 271{,}95\\ \text{kJ/kg}.(Esse é o trabalho útil extraído da turbina por kg de vapor.)

Passo 7

Achar a temperatura real de saída T_2 a partir de h_2 e p_2.
  • Temos p_2 = 1\\ \text{bar} e determinamos h_2 = 2\,834{,}40\\ \text{kJ/kg}.
  • Agora consultamos a tabela de vapor superaquecido a 1\\ \text{bar} e buscamos a temperatura que corresponde a h \approx 2\,834{,}40\\ \text{kJ/kg}.
  • Fazendo interpolações na tabela superaquecida (valores de h em função de T a 1\\ \text{bar}), encontra-se: T_2 \approx 179^\circ\text{C}.(Ou seja, o estado real de saída é vapor superaquecido a cerca de 179^\circ\text{C}, leitura obtida por interpolação nas tabelas a 1\\ \text{bar}.)
Comentário prático: na prova, depois de achar h_2 você vai direto na tabela de vapor superaquecido para p_2 e procura a linha onde h é próximo de h_2; se não estiver exatamente, faz uma interpolação linear em temperatura entre duas linhas próximas.

Resposta

w = 271{,}95\\ \text{kJ/kg}
T_2 = 179^\circ\text{C}

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