Exercício 1.1: Uma esfera metálica de 15,2 \mathrm{~cm} de diâmetro interno é pesada numa balança de braço de precisão quando evacuada e, novamente, quando cheia com um gás desconhecido a 0,72 \mathrm{MPa}. A diferença em peso é de 0,0221 \mathrm{~N}. A temperatura ambiente é de 27^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o gás, assumindo-se que seja uma substância pura?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Diâmetro interno da esfera: \,d=15{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • Pressão do gás dentro da esfera: \,P=0{,}72\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura ambiente: \,T=27^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença de peso (esfera cheia menos evacuada): \,\Delta W=0{,}0221\\ \mathrm{N}.
  • A esfera foi pesada primeiro evacuada e depois cheia com o gás desconhecido (assume-se substância pura).
O que se pede:
  • Identificar qual é o gás (assumindo substância pura), com base nos dados acima.

Passo 2

Entendimento físico simples (por que a diferença de peso nos dá a massa do gás).
  • A balança mede a força peso aparente da esfera. A força de empuxo do ar sobre a esfera depende somente do volume externo deslocado e das condições do ar ambiente, que não mudam entre as pesagens. Portanto o empuxo externo é o mesmo quando a esfera está evacuada e quando está cheia.
  • Assim, a única diferença entre as duas pesagens é a presença da massa do gás dentro da esfera, que contribui com uma força gravitacional igual a m_{\text{gás}}\,gá.
  • Logo a diferença de peso é exatamente o peso do gás:
\Delta W = m_{\text{gás}}\,g.á
  • Isolando a massa do gás:
m_{\text{gás}}=\frac{\Delta W}{g}.á
Aqui \Delta W é em newtons, g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}) e m_{\text{gás}}á ficará em kg.

Passo 3

Calcular a massa do gás usando \,m_{\text{gás}}=\dfrac{\Delta W}{g}á.
  • Substituindo os valores:
m_{\text{gás}}=\frac{0{,}0221\\ \mathrm{N}}{9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}}.á
  • Calculando:
m_{\text{gás}}\approx 0{,}00225179\\ \mathrm{kg}.á
Portanto a massa do gás presente dentro da esfera é aproximadamente \,0{,}002252\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular o volume interno da esfera (vai entrar na lei dos gases). Usamos a fórmula do volume da esfera em função do diâmetro:
V=\frac{\pi}{6}\,d^3.
Converter o diâmetro para metros: \,d=15{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}152\\ \mathrm{m}.
  • Calcular d^3:
d^3 = (0{,}152\\ \mathrm{m})^3 = 0{,}003511808\\ \mathrm{m^3}.
  • Agora o volume:
V=\frac{\pi}{6}\times 0{,}003511808\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}00183878\\ \mathrm{m^3}.
Assim \,V\approx 1{,}8388\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Relacionar massa, pressão, volume e temperatura usando a lei dos gases ideais e obter a massa molar.
  • A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão absoluta (Pa), V é o volume (m^3), n é o número de mols, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta (K).
  • O número de mols n relaciona-se com a massa m e a massa molar M por
n=\frac{m}{M}.
  • Substituindo em PV=nRT obtemos
PV=\frac{m}{M}RT \quad\Longrightarrow\quad M=\frac{mRT}{PV}.
Explicando variáveis e unidades para evitar erros:
  • m em kg (já calculado),
  • R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)},
  • T em kelvin: \,T=27^\circ\mathrm{C}=27+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K},
  • P em pascal: \,P=0{,}72\\ \mathrm{MPa}=0{,}72\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
  • V em \mathrm{m^3} (calculado no passo anterior).

Passo 6

Calcular numericamente a massa molar M.
  • Reunindo os números:
m=0{,}00225179\\ \mathrm{kg}, \quad R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)}, \quad T=300{,}15\\ \mathrm{K},
P=0{,}72\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}, \quad V=0{,}00183878\\ \mathrm{m^3}.
  • Calcular o numerador mRT:
mRT \approx 0{,}00225179\times 8{,}314462618\times 300{,}15 \approx 5{,}61953\\ \mathrm{(SI\;units)}.
  • Calcular o denominador PV:
PV \approx 0{,}72\times10^{6}\times 0{,}00183878 \approx 1323{,}92\\ \mathrm{(SI\;units)}.
  • Portanto
M=\frac{mRT}{PV}\approx \frac{5{,}61953}{1323{,}92}\\ \mathrm{kg/mol}\approx 0{,}0042446\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Converter para gramas por mol:
M\approx 4{,}2446\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 7

Identificar o gás comparando a massa molar calculada com massas molares conhecidas (valores típicos):
  • Hidrogênio H_2: \,2{,}016\\ \mathrm{g/mol}.
  • Hélio He: \,4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}.
  • Nitrogênio N_2: \,28{,}014\\ \mathrm{g/mol}.
  • Oxigênio O_2: \,32{,}00\\ \mathrm{g/mol}.
  • Neon Ne: \,20{,}18\\ \mathrm{g/mol}.
  • (entre outros).
Nosso valor \,M\approx 4{,}24\\ \mathrm{g/mol} é muito próximo de \,4{,}00\\ \mathrm{g/mol} do hélio. A pequena diferença (cerca de 6\%) pode ser atribuída a aproximações: uso do gás ideal, arredondamentos, incertezas experimentais, e ao valor adotado de g. Portanto o gás mais compatível é o hélio.

Passo 8

Conclusão final — explicando de forma direta e incentivadora: com os dados e a lei dos gases, encontramos uma massa molar próxima a 4{,}24\\ \mathrm{g/mol}, o que indica que o gás puro presente na esfera é o hélio. Boa! Você acabou de transformar uma diferença de peso pequenininha em uma identificação de gás — foi um raciocínio físico simples e direto.

Resposta

Hélio

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