Tetraidrofurano (1) e água (2) se separam em duas fases líquidas, a 1 bar e
. Determine a composição de cada fase líquida, sabendo que seu comportamento é satisfatoriamente descrito pelo modelo de Margules de 2 parâmetros com
e
. Dica: use ferramenta computacional para resolver o sistema de equações obtido.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as composições das duas fases líquidas em equilíbrio (duas fases imiscíveis) para a mistura binária tetraidrofurano (componente 1) + água (componente 2) a
e
. O modelo termodinâmico fornecido é o modelo de Margules de 2 parâmetros com
e
. A dica diz para usar ferramenta computacional para resolver o sistema de equações não-lineares que aparece.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Conceito físico e equações de equilíbrio (aula curtinha e prática).
- Em equilíbrio líquido–líquido a temperatura e pressão fixas, a condição de equilíbrio para cada componente
é a igualdade de seu potencial químico entre as fases:
- Usando atividade
e adotando como padrão o líquido puro à mesma , escreve-se
onde
é o coeficiente de atividade do componente
. Como
é o mesmo em ambas as fases, a condição de equilíbrio reduz-se a
Essas são duas equações (em princípio independentes) para as duas incógnitas
e
(com
e
).
- Modelo de Margules de 2 parâmetros (forma usual): define-se o excesso de energia livre molar dividido por
como
onde
e
(os
e
dados em J/mol devem ser divididos por
para entrar nas expressões adimensionais). A partir daqui derivam-se as expressões para os logaritmos dos coeficientes de atividade (fórmulas conhecidas, eu as uso direto):
com
. Explicando os símbolos:
-
e são frações molares dos componentes 1 e 2; -
é o coeficiente de atividade do componente ; -
e são os parâmetros adimensionais e .
Agora calculemos numericamente
e
para usar nas equações:
Logo
Passo 3
Escrevendo explicitamente o sistema de equações a resolver.
Defina as incógnitas
Para cada uma das composições calculamos
e
usando as fórmulas do passo anterior; em seguida
. As duas equações de equilíbrio ficam:
Repare que
é a igualdade de atividades para o componente 1 e
é a igualdade para o componente 2. Esse é um sistema de duas equações não-lineares em duas incógnitas.
Passo 4
Como resolver numericamente (guia prático para a prova/AV1).
-
Estratégia: use um resolvedor de equações não-lineares para sistemas (por exemplo, o fsolve do scipy em Python, ou o solver de equações no MATLAB, ou mesmo um método de Newton-Raphson multivariável implementado). A entrada é o par de funções
definidas no passo anterior; escolha um chute inicial razoável (por exemplo ou ); o método converge rapidamente para as raízes físicas do problema (frações molares entre 0 e 1). -
Dica prática de implementação (esqueleto em Python/pseudocódigo):
- Teste físico: as soluções devem satisfazer
e e representam uma fase rica em componente 1 e outra pobre (ou vice-versa), dependendo do sistema.
Passo 5
Execução e resultado numérico.
-
Ao implementar o sistema de equações do Passo 3 com os parâmetros
e dados (passando-os para e dividindo por conforme Passo 2) e resolvendo numericamente por um método como fsolve, obtém-se a dupla raiz física do sistema. -
A solução numérica (obtida pela resolução do sistema descrito) é:
Esses valores representam as frações molares de tetraidrofurano nas fases líquidas
(fase rica em THF) e
(fase pobre em THF), respectivamente.