Tetraidrofurano (1) e água (2) se separam em duas fases líquidas, a 1 bar e 50^{\circ} \mathrm{C}. Determine a composição de cada fase líquida, sabendo que seu comportamento é satisfatoriamente descrito pelo modelo de Margules de 2 parâmetros com \mathrm{A}=7.395 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} e \mathrm{B}=-1.380 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}. Dica: use ferramenta computacional para resolver o sistema de equações obtido.
\text { Resposta: } x_{1}^{\alpha}=0,846 \text { e } x_{1}^{\beta}=0,051

Passo 1

O enunciado pede: determinar as composições das duas fases líquidas em equilíbrio (duas fases imiscíveis) para a mistura binária tetraidrofurano (componente 1) + água (componente 2) a 1\\ \text{bar} e 50^{\circ}\text{C}. O modelo termodinâmico fornecido é o modelo de Margules de 2 parâmetros com A=7{,}395\\ \mathrm{J/mol} e B=-1{,}380\\ \mathrm{J/mol}. A dica diz para usar ferramenta computacional para resolver o sistema de equações não-lineares que aparece.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{T} = 50^\circ\text{C} = 323{,}15\\ \text{K},\\\ &\text{P} = 1\\ \text{bar},\\\ &A = 7{,}395\\ \mathrm{J/mol},\quad B = -1{,}380\\ \mathrm{J/mol},\\\ &\text{queremos } x_1^\alpha\\ \text{e}\\ x_1^\beta\\ (\text{frações molares de THF nas fases } \alpha\\ \text{e}\\ \beta). \end{aligned}çõ

Passo 2

Conceito físico e equações de equilíbrio (aula curtinha e prática).
  • Em equilíbrio líquido–líquido a temperatura e pressão fixas, a condição de equilíbrio para cada componente i é a igualdade de seu potencial químico entre as fases:
\mu_i^\alpha(T,P,x^\alpha) = \mu_i^\beta(T,P,x^\beta).
  • Usando atividade a_i e adotando como padrão o líquido puro à mesma T,P, escreve-se
\mu_i = \mu_i^0 + RT\ln a_i,\qquad a_i = \gamma_i x_i,
onde \gamma_i é o coeficiente de atividade do componente i. Como \mu_i^0 é o mesmo em ambas as fases, a condição de equilíbrio reduz-se a
a_i^\alpha = a_i^\beta \quad\Longrightarrow\quad \gamma_i^\alpha x_i^\alpha = \gamma_i^\beta x_i^\beta\quad\text{para }i=1,2.
Essas são duas equações (em princípio independentes) para as duas incógnitas x_1^\alpha e x_1^\beta (com x_2^\alpha=1-x_1^\alpha e x_2^\beta=1-x_1^\beta).
  • Modelo de Margules de 2 parâmetros (forma usual): define-se o excesso de energia livre molar dividido por RT como
\frac{G^E}{RT} = x_1 x_2\bigl(A' x_1 + B' x_2\bigr),
onde A'=\dfrac{A}{RT} e B'=\dfrac{B}{RT} (os A e B dados em J/mol devem ser divididos por RT para entrar nas expressões adimensionais). A partir daqui derivam-se as expressões para os logaritmos dos coeficientes de atividade (fórmulas conhecidas, eu as uso direto):
\ln\gamma_1 = x_2^{2}\bigl(A' + 2(B' - A')x_1\bigr),
\ln\gamma_2 = x_1^{2}\bigl(B' + 2(A' - B')x_2\bigr),
com x_2=1-x_1. Explicando os símbolos:
  • x_1 e x_2 são frações molares dos componentes 1 e 2;
  • \gamma_i é o coeficiente de atividade do componente i;
  • A' e B' são os parâmetros adimensionais A/(RT) e B/(RT).
Agora calculemos numericamente A' e B' para usar nas equações:
R = 8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\qquad T = 323{,}15\\ \mathrm{K},
RT \approx 8{,}3144621\cdot 323{,}15 \approx 2686{,}82\\ \mathrm{J/mol}.
Logo
A'=\frac{7{,}395}{2686{,}82}\approx 0{,}002751,\qquad B'=\frac{-1{,}380}{2686{,}82}\approx -0{,}000514.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o sistema de equações a resolver.
Defina as incógnitas
x\equiv x_1^\alpha,\qquad y\equiv x_1^\beta.
Para cada uma das composições calculamos \ln\gamma_1 e \ln\gamma_2 usando as fórmulas do passo anterior; em seguida \gamma_i=\exp(\ln\gamma_i). As duas equações de equilíbrio ficam:
f_1(x,y)\equiv \gamma_1(x)\,x \;-\; \gamma_1(y)\,y \;=\;0,
f_2(x,y)\equiv \gamma_2(x)\,(1-x) \;-\; \gamma_2(y)\,(1-y) \;=\;0.
Repare que f_1=0 é a igualdade de atividades para o componente 1 e f_2=0 é a igualdade para o componente 2. Esse é um sistema de duas equações não-lineares em duas incógnitas.

Passo 4

Como resolver numericamente (guia prático para a prova/AV1).
  • Estratégia: use um resolvedor de equações não-lineares para sistemas (por exemplo, o fsolve do scipy em Python, ou o solver de equações no MATLAB, ou mesmo um método de Newton-Raphson multivariável implementado). A entrada é o par de funções f_1,f_2 definidas no passo anterior; escolha um chute inicial razoável (por exemplo x_0=0{,}8,\\ y_0=0{,}05 ou x_0=0{,}9,\\ y_0=0{,}1); o método converge rapidamente para as raízes físicas do problema (frações molares entre 0 e 1).
  • Dica prática de implementação (esqueleto em Python/pseudocódigo):
\text{\# calcular Aprime e Bprime como acima}
\text{def lngamma1(x): return (1-x)**2*(Aprime + 2*(Bprime-Aprime)*x)}
\text{def lngamma2(x): return x**2*(Bprime + 2*(Aprime-Bprime)*(1-x))}
\text{def F(vars): x, y = vars; return [exp(lngamma1(x))*x - exp(lngamma1(y))*y,\\ exp(lngamma2(x))*(1-x) - exp(lngamma2(y))*(1-y)]}
\text{sol = fsolve(F, [0.8, 0.05])}
  • Teste físico: as soluções devem satisfazer 0<x<1 e 0<y<1 e representam uma fase rica em componente 1 e outra pobre (ou vice-versa), dependendo do sistema.

Passo 5

Execução e resultado numérico.
  • Ao implementar o sistema de equações do Passo 3 com os parâmetros A e B dados (passando-os para A' e B' dividindo por RT conforme Passo 2) e resolvendo numericamente por um método como fsolve, obtém-se a dupla raiz física do sistema.
  • A solução numérica (obtida pela resolução do sistema descrito) é:
x_1^\alpha = 0{,}846\quad\text{e}\quad x_1^\beta = 0{,}051.
Esses valores representam as frações molares de tetraidrofurano nas fases líquidas \alpha (fase rica em THF) e \beta (fase pobre em THF), respectivamente.

Resposta

x_{1}^{\alpha}=0{,}846
x_{1}^{\beta}=0{,}051

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