Exercício 5.1: Propõe-se aquecer uma casa usando uma bomba de calor. O calor transferido da casa é de 12500 \mathrm{kcal} / \mathrm{h}. A casa deve ser mantida a 24^{\circ} \mathrm{C} quando a temperatura externa é de -7^{\circ} \mathrm{C}. qual a menor potência necessária para acionar a bomba?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a menor potência necessária para acionar a bomba de calor:
  • Calor fornecido à casa: \,12500\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Temperatura interna (reservatório quente): \,24^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa (reservatório frio): \,-7^\circ\mathrm{C}.
    Pergunta: qual a menor potência (potência elétrica/mecânica de entrada) necessária para acionar a bomba de calor, isto é, a potência mínima que deve ser fornecida ao dispositivo para manter a casa a \,24^\circ\mathrm{C} quando fora está -7^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Qual é a ideia para encontrar a menor potência? Para dar um limite inferior (menor possível) usamos a bomba de calor ideal e reversível (bomba de calor de Carnot). Uma bomba de calor ideal aproveita ao máximo a diferença de temperaturas; assim a potência mínima corresponde ao caso reversível (limite termodinâmico).
Aqui vai a fórmula essencial e sua origem, explicada devagarinho:
  • Definimos:
    \,Q_H = calor entregue ao reservatório quente (a casa) por unidade de tempo (potência térmica entregue).
    \,W = potência de entrada (trabalho por unidade de tempo) que queremos minimizar.
  • O coeficiente de desempenho (COP) para aquecimento de uma bomba de calor é \mathrm{COP}_{\text{aquecer}}=\frac{Q_H}{W}.
  • Para uma bomba de calor reversível de Carnot, relacionando-se com as temperaturas absolutas do quente e do frio, a expressão é \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_H}{T_H-T_C},onde \,T_H e \,T_C são as temperaturas absolutas (em kelvin) do reservatório quente (casa) e do reservatório frio (externo), respectivamente.
    Rápida intuição: a bomba de calor transfere \,Q_H e precisa de trabalho W; para um ciclo reversível a razão Q_H/W depende apenas das temperaturas absolutas e cresce quando a diferença de temperatura diminui.
Portanto a menor potência de entrada possível (limite ideal) é
W_{\min}=\frac{Q_H}{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}}=\frac{Q_H}{T_H/(T_H-T_C)}=Q_H\cdot\frac{T_H-T_C}{T_H}.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin (essencial: usar escala absoluta nas fórmulas termodinâmicas):
T_H = 24^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 297{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = -7^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 266{,}15\\ \mathrm{K}.
A diferença:
T_H - T_C = 297{,}15 - 266{,}15 = 31{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_H}{T_H-T_C}=\frac{297{,}15}{31{,}0}.
Fazendo a divisão:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} \approx 9{,}586129\ldots
(ou seja, aproximadamente 9{,}59).

Passo 5

Converter o calor fornecido \,12500\\ \mathrm{kcal/h} para potência em watts (SI):
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s},
Q_H = 12500\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}} = 12500\cdot\frac{4184\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}}.
Calculando:
Q_H = \frac{12500\cdot 4184}{3600}\\ \mathrm{W} \approx 14527{,}7778\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a potência mínima de entrada usando W_{\min}=Q_H/\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}:
W_{\min}=\frac{14527{,}7778\\ \mathrm{W}}{9{,}586129\ldots}\approx 1515{,}5\\ \mathrm{W}.
Interpretação: numa bomba de calor ideal de Carnot a potência elétrica mínima necessária seria cerca de 1515{,}5\\ \mathrm{W}. Na prática uma bomba real tem perdas e um COP menor, logo exigirá potência maior; este valor é o limite teórico mínimo.

Passo 7

Arredondamentos e apresentação prática: é comum expressar potência em quilowatts. Convertendo:
1515{,}5\\ \mathrm{W} = 1{,}5155\\ \mathrm{kW}\approx 1{,}52\\ \mathrm{kW}.

Resposta

1515{,}5\\ \mathrm{W} \approx 1{,}52\\ \mathrm{kW}

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