Exercício 4.6: Vapor d’água 0,8 \mathrm{MPa} e 260^{\circ} \mathrm{C} é estrangulado para 0,2 \mathrm{MPa}. As variações de energia cinética são desprezíveis nesse processo. Determinar a temperatura e o volume específico final do vapor e o coeficiente de Joule-Thomson médio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Dados fornecidos: p_1 = 0{,}8\\ \text{MPa},\qquad T_1 = 260^\circ\text{C}
p_2 = 0{,}2\\ \text{MPa}
As variações de energia cinética são desprezíveis e o processo é um estrangulamento (throttling).
  • O que se pede:
    1. A temperatura final do vapor, T_2.
    2. O volume específico final do vapor, v_2.
    3. O coeficiente de Joule–Thomson médio entre os estados 1 e 2, \mu_{\text{JT,\,médio}}=\dfrac{\Delta T}{\Delta p}é, onde \Delta T=T_2-T_1 e \Delta p=p_2-p_1.
Observação: no estrangulamento (válvula de pressão) a propriedade que se conserva, em termos macroscópicos, é a entalpia específica; ou seja, o processo é aproximadamente isenthalpico:
h_1 = h_2.

Passo 2

Explicação física e estratégia de resolução (passo-a-passo do raciocínio):
  • Conceito importante: entalpia específica h é uma propriedade termodinâmica que, para vapor de água, depende de p e T. Em um estrangulamento sem troca de trabalho e com energia cinética desprezível, aplica-se a conservação de entalpia por unidade de massa:
    h_1 = h_2.
    Logo, para encontrar T_2 a partir de p_2 e h_1, procuramos na tabela de vapor (ou nas curvas de propriedades) a temperatura, para p_2, cuja entalpia seja igual a h_1.
  • Como proceder na prova:
    1. Consultar tabela (ou diagrama h- p) e ler h_1 para (p_1,T_1).
    2. Ir para p_2 na tabela e encontrar o estado (saturado ou superaquecido) com h=h_1. Se h_1 for maior que h_g(p_2) (entalpia do vapor saturado à pressão p_2), então o estado 2 é superaquecido; se h_1<h_g(p_2) então é mistura líquida–vapor e T_2 será a temperatura de saturação correspondente a p_2.
    3. Uma vez obtido T_2, calcular v_2 consultando a tabela (ou, na ausência de tabela e se o vapor estiver bem denso como superaquecido, usar aproximação do gás perfeito com v = \dfrac{R\,T}{p} como aproximação).
    4. Calcular o coeficiente médio de Joule–Thomson por \mu_{\text{médio}}=\frac{T_2-T_1}{p_2-p_1}.é
  • Observação didática: para vapor superaque-hido à temperatura alta, o comportamento costuma ser próximo ao de gás ideal e, se fosse gás ideal, \mu_{\text{JT}}=0. Na prática para vapor d’água essa variação é pequena; por isso é comum ver pequena mudança de temperatura no estrangulamento.

Passo 3

Obtenção da entalpia inicial h_1 (usar tabela de vapor / aproximação):
  • Na prova você deve ler diretamente da tabela de vapor para as condições (p_1=0{,}8\\ \text{MPa},\\ T_1=260^\circ\text{C}). Como nem sempre temos a tabela completa no enunciado de treino, aqui vou estimar h_1 de forma prática com argumento físico (método que você pode aplicar rápido se a tabela não estiver à mão):
    1. Determinar a temperatura de saturação em p_1: para p_1=0{,}8\\ \text{MPa} tem-se T_{\text{sat},1}\approx 170{,}4^\circ\text{C}. Como T_1=260^\circ\text{C}>T_{\text{sat},1}, o vapor está superaquecido.
    2. Ler na tabela o valor da entalpia do vapor saturado em p_1, h_g(p_1). Vou utilizar um valor típico de tabela para h_g(p_1) (estimado) e então somar a contribuição de superaquecimento aproximando a capacidade calorífica molar específica c_p do vapor por unidade de massa como aproximadamente constante e igual a c_p\approx 2{,}0\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1} (valor prático para vapor superaquecido nesta faixa). Assim: h_1 \approx h_g(p_1) + c_p\,(T_1 - T_{\text{sat},1}).
  • Usando valores representativos de tabela e a aproximação indicada (esses números são aproximações compatíveis com tabelas usuais):
    h_g(p_1)\approx 2790\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1},
T_1 - T_{\text{sat},1} = 260 - 170{,}4 = 89{,}6\\ ^\circ\text{C}=89{,}6\\ \text{K}.
Aplicando a aproximação:
h_1 \approx 2790 + 2{,}0\times 89{,}6 \approx 2790 + 179{,}2 = 2969{,}2\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.
Arredondando, tomo
h_1 \approx 2970\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.
(Observação: na prova, se você tiver a tabela, pegue o h diretamente; a aproximação por c_p serve quando falta a tabela ou para estimativa rápida.)

Passo 4

Determinar o estado 2 usando h_2=h_1 e p_2:
  • Primeiro verificar h_g(p_2) (entalpia do vapor saturado em p_2). Para p_2=0{,}2\\ \text{MPa} a temperatura de saturação é
    T_{\text{sat},2}\approx 120{,}2^\circ\text{C}.
    Um valor típico de entalpia do vapor saturado naquele ponto é da ordem de h_g(p_2)\approx 2705\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1} (valor representativo de tabela).
  • Comparação:
    h_1 \approx 2970\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1} > h_g(p_2)\approx 2705\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1},
    portanto o estado 2 é superaquecido (não é mistura). Logo, para encontrar T_2 buscamos na tabela de vapor superaquecido à pressão p_2=0{,}2\\ \text{MPa} a temperatura tal que h(p_2,T_2)=h_1.
  • Novamente, se a tabela direta não estiver disponível, uso aproximação linear com c_p para vapor superaquecido:
    h_2 \approx h_g(p_2) + c_p\,(T_2 - T_{\text{sat},2}).
    Impor h_2=h_1 e resolver para T_2:
    T_2 \approx T_{\text{sat},2} + \frac{h_1 - h_g(p_2)}{c_p}.
  • Substituindo os valores aproximados:
    T_2 \approx 120{,}2^\circ\text{C} + \frac{2970 - 2705}{2{,}0}\\ ^\circ\text{C}
T_2 \approx 120{,}2 + \frac{265}{2{,}0} = 120{,}2 + 132{,}5 = 252{,}7^\circ\text{C}.
Arredondando, tomo
T_2 \approx 253^\circ\text{C}.
(Resumo: o vapor resfria ligeiramente no estrangulamento — de 260^\circ\text{C} para cerca de 253^\circ\text{C} — comportamento consistente com pequena, mas positiva, \mu_{\text{JT}} nessa região.)

Passo 5

Cálculo do volume específico final v_2:
  • Para vapor superaquecido podemos usar a equação dos gases perfeitos como boa aproximação para estimar v:
    p\,v = R\,T,
    onde R é a constante específica do vapor d’água,
    R = 0{,}4615\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1} = 0{,}4615\\ \text{kPa}\,\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1}.
    Atenção às unidades: usar p em \text{kPa}, T em \text{K} e v em \text{m}^3\text{kg}^{-1}.
  • Converter temperaturas e pressões:
    T_2 = 252{,}7^\circ\text{C} = 525{,}85\\ \text{K},
p_2 = 0{,}2\\ \text{MPa} = 200\\ \text{kPa}.
  • Calcular v_2: v_2 \approx \frac{R\,T_2}{p_2} = \frac{0{,}4615\times 525{,}85}{200}\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}.Efetuando a multiplicação e divisão: v_2 \approx \frac{242{,}64}{200} \approx 1{,}213\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}.Arredondando: v_2 \approx 1{,}21\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}.
(Obs.: se você tiver a tabela de vapor superaquecido para p_2=0{,}2\\ \text{MPa} e T_2\approx 253^\circ\text{C}, poderá ler v_2 diretamente. A aproximação pelo gás perfeito dá um valor muito próximo para vapor nessa faixa.)

Passo 6

Cálculo do coeficiente médio de Joule–Thomson \mu_{\text{médio}}é:
  • Definição do coeficiente médio entre os dois estados:
    \mu_{\text{médio}} = \frac{T_2 - T_1}{p_2 - p_1}.é
    Usar T em kelvin (ou em graus Celsius, pois diferença de temperatura tem a mesma numeração em K e °C) e p em MPa (ou em kPa; apenas cuide da unidade final).
  • Substituindo:
    T_1 = 260^\circ\text{C}=533{,}15\\ \text{K},\qquad T_2\approx 252{,}7^\circ\text{C}=525{,}85\\ \text{K}.
\Delta T = T_2 - T_1 = 525{,}85 - 533{,}15 = -7{,}30\\ \text{K}.
\Delta p = p_2 - p_1 = 0{,}2 - 0{,}8 = -0{,}6\\ \text{MPa}.
Logo
\mu_{\text{médio}} = \frac{-7{,}30}{-0{,}6}\\ \frac{\text{K}}{\text{MPa}} \approx 12{,}17\\ \frac{\text{K}}{\text{MPa}}.é
  • Se preferir em \text{K}/\text{kPa}, \mu_{\text{médio}} \approx 0{,}01217\\ \frac{\text{K}}{\text{kPa}}.é
(Interpretação: \mu_{\text{médio}}>0é significa que ao reduzir a pressão o vapor sofre pequeno resfriamento — consistente com o resultado T_2<T_1.)

Passo 7

Resumo das aproximações e observações finais (como agir na prova):
  • O passo-chave é usar h_1=h_2. Se houver tabela disponível, leia h_1 para (p_1,T_1) e depois, em p_2, localize T_2 tal que h(p_2,T_2)=h_1. Em seguida leia v_2 directamente ou use a equação dos gases perfeitos como aproximação.
  • As contas acima usaram estimativas de valores de tabela e aproximação de c_p constante; se tiver tabela real use os números exatos e o procedimento será idêntico, com resultados muito próximos.
  • Fique confiante: o procedimento é sempre o mesmo — entalpia constante, verificar se o estado final é saturado ou superaquecido, e então obter T_2 e v_2.

Resposta

T_2 \approx 253^\circ\text{C}\n
v_2 \approx 1{,}21\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}\n
\mu_{\text{JT, médio}} \approx 12{,}17\\ \dfrac{\text{K}}{\text{MPa}}é

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