Exercício 1.4: Um tanque fechado contém \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} líquido e vapor em equilíbrio a 260^{\circ} C. A distância do fundo do tanque ao nível do líquido é 6 m . Qual é a leitura de pressão no fundo do tanque comparada com a pressão no topo do mesmo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma comparação clara entre as pressões no topo e no fundo do tanque:
  • A temperatura de equilíbrio entre líquido e vapor é \,260^\circ\mathrm{C}\,.
  • A distância do fundo do tanque até o nível do líquido (coluna de líquido) é \,6\\ \mathrm{m}\,.
  • O tanque é fechado e contém água líquida e vapor em equilíbrio (logo a pressão do vapor sobre o líquido é a pressão de saturação correspondente a \,260^\circ\mathrm{C}\,).
  • Pergunta: “Qual é a leitura de pressão no fundo do tanque comparada com a pressão no topo do mesmo?” — ou seja, precisamos dizer quanto a pressão no fundo difere da pressão no topo (e expressar a pressão no fundo em função da pressão no topo).
Estas são todas as informações relevantes que o enunciado fornece. Não há dados numéricos diretos da densidade do líquido no enunciado, então, para um valor numérico final vamos usar um valor típico aproximado para a densidade do líquido saturado a \,260^\circ\mathrm{C}\, (pode ser melhorado consultando uma tabela de vapor/água).

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática e direta):
  • Em um fluido em equilíbrio sob gravidade, a variação de pressão com a profundidade é governada pela equação hidrostática. A ideia intuitiva: adicionando mais coluna de líquido acima de um ponto, o peso dessa coluna gera um acréscimo de pressão naquele ponto.
  • A equação diferencial da hidrostática para um líquido incompressível (ou cuja densidade é aproximadamente constante na coluna considerada) é:
\frac{dp}{dz} = -\rho g
onde:
  • p é a pressão ( \mathrm{Pa}),
  • z é a cota vertical (m), coordenada que aumenta para cima,
  • \rho é a densidade do líquido ( \mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m\,s^{-2}}), aproximadamente \,9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\,.
Explicação do sinal: quando vamos para baixo ( dz<0), a pressão aumenta ( dp>0), por isso o sinal negativo.

Passo 3

Integração e fórmula útil (passo a passo para usar na prova):
  • Integramos \dfrac{dp}{dz}=-\rho g entre dois níveis: do topo do líquido (cota z_{\text{top}}) até o fundo (cota z_{\text{fundo}}). Se tomarmos h como a profundidade (altura da coluna) definida por
h = z_{\text{top}} - z_{\text{fundo}} \quad(\text{portanto } h>0),
então a integração dá:
\int_{p_{\text{top}}}^{p_{\text{fundo}}} dp = -\rho g \int_{z_{\text{top}}}^{z_{\text{fundo}}} dz.
  • O lado direito fica -\rho g (z_{\text{fundo}}-z_{\text{top}}) = \rho g h. Logo:
p_{\text{fundo}} - p_{\text{top}} = \rho g h.
  • Interpretação simples: a pressão no fundo é a pressão no topo mais o “peso” da coluna de líquido de altura h.
Esta é a fórmula que você deve lembrar e usar rapidamente na prova: \;p_{\text{fundo}} = p_{\text{top}} + \rho g h\;.

Passo 4

O que usar para \rho no nosso caso e por quê:
  • O enunciado dá temperatura de saturação \,260^\circ\mathrm{C}\,, portanto o líquido é água saturada àquela temperatura. A densidade do líquido saturado \rho depende da temperatura e deve ser obtida em uma tabela de vapor d’água (steam tables) se quisermos máxima precisão.
  • Para fazer uma avaliação numérica aproximada sem tabela (o que costuma ser aceitável em questões de prova quando não pedem alta precisão), usamos um valor típico da densidade do líquido saturado perto de \,260^\circ\mathrm{C}\,. Um valor razoável de ordem de grandeza é
\rho \approx 850\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
(Observação: você pode substituir esse número pelo valor exato das tabelas; o procedimento e a fórmula não mudam.)

Passo 5

Cálculo numérico aproximado do acréscimo de pressão do topo para o fundo:
  • Usamos \rho \approx 850\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e h=6\\ \mathrm{m}.
  • Compute a diferença:
\Delta p = p_{\text{fundo}} - p_{\text{top}} = \rho g h.
  • Substituindo:
\Delta p \approx 850 \times 9{,}81 \times 6\\ \mathrm{Pa}.
  • Fazer as contas passo a passo:
    • Primeiro 9{,}81\times 6 = 58{,}86.
    • Depois 850\times 58{,}86 = 50\,031.
  • Assim:
\Delta p \approx 5{,}00\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 50{,}0\\ \mathrm{kPa}\quad(\text{aproximadamente}).

Passo 6

Interpretação final e observações práticas (como responder na prova):
  • A leitura de pressão no fundo será maior que a leitura no topo em \rho g h. Numericamente, com a densidade aproximada usada, o aumento é de aproximadamente \,50{,}0\\ \mathrm{kPa}\,.
  • Em palavras curtas para escrever na prova: “A pressão no fundo é a pressão no topo mais \rho g h. Para água saturada a \,260^\circ\mathrm{C}\, \rho\approx 850\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, logo p_{\text{fundo}} \approx p_{\text{topo}} + 5{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.”
  • Se o examinador exigir alta precisão, consulte a tabela de propriedades da água para obter o valor exato de \rho a \,260^\circ\mathrm{C}\, e repita o cálculo.

Resposta

\displaystyle p_{\text{fundo}} = p_{\text{topo}} + \rho g h \approx p_{\text{topo}} + 5{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (aprox.)

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