Um exoplaneta recém-descoberto, chamado Aureon, está sendo comparado ao planeta Nemos, já bem estudado pelos astrônomos. As medições feitas indicam que:
  • A massa de Nemos é 200 vezes maior que a massa de Aureon.
  • O raio de Nemos é 4 vezes malor que o de Aureon.
    Um pesqulsador leva uma pequena sonda de teste cuja força peso na superficie de Nemos é de 120 N . Qual será o peso da mesma sonda na superficie de Aureon?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule qual será o peso da mesma sonda na superfície de Aureon, dado que:
  • A massa de Nemos é 200 vezes a massa de Aureon, ou seja M_N = 200\,M_A.
  • O raio de Nemos é 4 vezes o raio de Aureon, ou seja R_N = 4\,R_A.
  • O peso da sonda na superfície de Nemos é 120\\ \text{N}, ou seja W_N = 120\\ \text{N}.
    Pergunta: qual é W_A, o peso da sonda na superfície de Aureon?

Passo 2

Conceito físico necessário (explicadinho): o peso de um corpo na superfície de um planeta é a força gravitacional que o planeta exerce sobre o corpo. Em fórmula:
W = m\,g
onde W é o peso, m é a massa da sonda (a mesma em ambos os planetas) e g é a aceleração da gravidade na superfície do planeta. A gravidade na superfície de um planeta é dada por
g = G\frac{M}{R^{2}}
onde G é a constante gravitacional (a mesma para todos os planetas), M é a massa do planeta e R é o raio do planeta. Aqui: explique o que cada símbolo significa para você ficar seguro:
  • G: constante universal, não precisamos do valor numérico porque vai cancelar.
  • M: massa do planeta (aqui M_N ou M_A).
  • R: raio do planeta (aqui R_N ou R_A).
  • m: massa da sonda (mesma nas duas superfícies).

Passo 3

Como W = m\,g e g = G M / R^{2}, o peso na superfície de um planeta é
W = m\,G\frac{M}{R^{2}}.
Para comparar os pesos nas duas superfícies (Aureon e Nemos), podemos fazer a razão
\frac{W_A}{W_N}=\frac{m\,G\frac{M_A}{R_A^{2}}}{m\,G\frac{M_N}{R_N^{2}}} .
Note que m e G cancelam porque são iguais nos numeradores e denominadores: a massa da sonda é a mesma e G é constante.

Passo 4

Depois do cancelamento ficamos com
\frac{W_A}{W_N}=\frac{M_A/R_A^{2}}{M_N/R_N^{2}}=\frac{M_A}{M_N}\cdot\frac{R_N^{2}}{R_A^{2}}.
Agora substituímos as informações do enunciado. Como M_N=200\,M_A temos \dfrac{M_A}{M_N}=\dfrac{1}{200}.
Como R_N=4\,R_A temos \dfrac{R_N^{2}}{R_A^{2}}=4^{2}=16. Portanto
\frac{W_A}{W_N}=\frac{1}{200}\cdot 16=\frac{16}{200}=\frac{2}{25}=0,08.

Passo 5

Agora calculamos W_A:
W_A = 0,08\cdot W_N.
Substituindo W_N=120\\ \text{N},
W_A = 0,08\cdot 120\\ \text{N}.
Fazendo a conta: 120\times 0,08 = 120\times \dfrac{8}{100} = \dfrac{960}{100}=9,6. Logo
W_A = 9,6\\ \text{N}.

Resposta

9,6\\ \text{N}

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