09 - Em torno de uma estrela distante, dois exoplanetas seguem órbitas circulares. Sabe-se que o periodo orbital de cada planeta relaciona-se ao raio de sua órbita. O planeta Alfa possui uma órbita de raio 3 vezes maior que a orbita do planeta Beta.
Sabe-se ainda que o planeta Alfa leva 54 dias para completar uma volta ao redor da estrela. Qual é o periodo orbital do planeta Beta?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Dados:
  • O planeta Alfa tem período orbital T_A = 54 dias.
  • O raio da órbita de Alfa é 3 vezes o raio da órbita de Beta, isto é, r_A = 3\,r_B.
    Pergunta: Qual é o período orbital do planeta Beta T_B?

Passo 2

Aqui está a relação física/equacional que vamos usar (vou explicar com calma). Para corpos que orbitam a mesma estrela, vale uma relação entre período T e raio r:
T^{2}\propto r^{3}.
Isto significa que existe uma constante k tal que
T^{2}=k\,r^{3}.
Nessas fórmulas: T é o período (tempo para uma volta), r é o raio da órbita, e k é a mesma para ambos os planetas porque eles orbitam a mesma estrela. Essa é a forma que relaciona tempo de órbita ao tamanho da órbita.

Passo 3

Como a constante k é a mesma para Alfa e Beta, podemos igualar as duas expressões:
\frac{T_A^{2}}{r_A^{3}}=\frac{T_B^{2}}{r_B^{3}}.
Isolando T_B obtemos
T_B = T_A\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}.
Expliquei cada passo: elevamos ambos os lados ao quadrado e rearranjamos para deixar T_B sozinho.

Passo 4

Substituímos agora r_A = 3\,r_B na expressão:
\frac{r_B}{r_A}=\frac{r_B}{3\,r_B}=\frac{1}{3}.
Logo
T_B = T_A\left(\frac{1}{3}\right)^{3/2}.

Passo 5

Substituindo T_A=54 dias:
T_B = 54\cdot 3^{-3/2}.
Vamos simplificar passo a passo:
3^{3/2}=3^{1}\cdot 3^{1/2}=3\sqrt{3}.
Então
T_B=\frac{54}{3\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}):
T_B=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}.
Agora a aproximação numérica com \sqrt{3}\approx 1,732:
T_B \approx 6\cdot 1,732 \approx 10,39\\ \text{dias}.

Passo 6

Resumo e checagem rápida: T_B é menor que T_A porque Beta está mais perto da estrela (raio menor), e o valor encontrado 6\sqrt{3}\approx 10,39 dias faz sentido qualitativamente: muito mais rápido do que 54 dias. Força aí — você já tem o método pronto pra aplicar em questões parecidas!

Resposta

6\sqrt{3} dias (aprox. 10,39 dias)

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