09 - Em torno de uma estrela distante, dois exoplanetas seguem órbitas circulares. Sabe-se que o periodo orbital de cada planeta relaciona-se ao raio de sua órbita. O planeta Alfa possui uma órbita de raio 3 vezes maior que a orbita do planeta Beta.
Sabe-se ainda que o planeta Alfa leva 54 dias para completar uma volta ao redor da estrela. Qual é o periodo orbital do planeta Beta?
Sabe-se ainda que o planeta Alfa leva 54 dias para completar uma volta ao redor da estrela. Qual é o periodo orbital do planeta Beta?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Dados:
- O planeta Alfa tem período orbital
dias. - O raio da órbita de Alfa é 3 vezes o raio da órbita de Beta, isto é,
.
Pergunta: Qual é o período orbital do planeta Beta?
Passo 2
Aqui está a relação física/equacional que vamos usar (vou explicar com calma). Para corpos que orbitam a mesma estrela, vale uma relação entre período
e raio
:
Isto significa que existe uma constante
tal que
Nessas fórmulas:
é o período (tempo para uma volta),
é o raio da órbita, e
é a mesma para ambos os planetas porque eles orbitam a mesma estrela. Essa é a forma que relaciona tempo de órbita ao tamanho da órbita.
Passo 3
Como a constante
é a mesma para Alfa e Beta, podemos igualar as duas expressões:
Isolando
obtemos
Expliquei cada passo: elevamos ambos os lados ao quadrado e rearranjamos para deixar
sozinho.
Passo 4
Substituímos agora
na expressão:
Logo
Passo 5
Substituindo
dias:
Vamos simplificar passo a passo:
Então
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
):
Agora a aproximação numérica com
:
Passo 6
Resumo e checagem rápida:
é menor que
porque Beta está mais perto da estrela (raio menor), e o valor encontrado
dias faz sentido qualitativamente: muito mais rápido do que 54 dias. Força aí — você já tem o método pronto pra aplicar em questões parecidas!