Ex. 2: Ar expande-se de maneira adiabática e reversível em um sistema fechado do tipo cilindro/pistāo, partindo da pressāo de 29 bar e temperatura 460 K e chegando a 8 bar ao final do processo. Determine o trabalho realizado. Utilize a equaçāo de gás ideal e o seguinte Cp:
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pelo ar que se expande adiabaticamente e reversivelmente num sistema fechado (cilindro/pistão), partindo de
e
e chegando a
. Foi dada a dependência de
com a temperatura, pela relação
Informações relevantes fornecidas:
- Processo: adiabático e reversível (isto é, isentrópico).
- Gás ideal (ar idealizado).
-
, , . - Função de
por mol (através de ).
Observação: o enunciado não dá massa ou número de mols, portanto vamos calcular o trabalho por mol (em J·mol^{-1}).
Passo 2
Teoria / fórmula básica (aula mastigada):
- Para um gás ideal, a variação de entropia diferencial pode ser escrita como
Isto vem de
, sabendo que
e
.
- Num processo adiabático e reversível (
), temos
Integramos entre os estados 1 e 2:
- Substituímos a forma dada de
. Definindo
com
,
e
.
Então
Então
Integramos isso de
a
:
Igualando ao lado direito (dividido por
) obtemos a equação que determina
:
Passo 3
Aplicando os valores numéricos para montar a equação a resolver:
-
, , . -
. -
.
Substituindo,
onde usamos
.
Agora resolvemos numericamente essa equação para .
Método prático (bastante usado na prova): testar valores e fazer refinamento simples (bissecção/iteração). Testes rápidos:
Agora resolvemos numericamente essa equação para
Método prático (bastante usado na prova): testar valores e fazer refinamento simples (bissecção/iteração). Testes rápidos:
- Testando
obtemos o lado esquerdo próximo de (avaliação direta mostra o resíduo quase zero).
Refinando os testes (avaliando a função e interpolando) chegamos ao valor
Observação didática: aqui mostramos a lógica do que foi integrado e por que a equação envolve
, termos line e de potência -2; na prova você pode usar uma calculadora para avaliar rapidamente a função em dois pontos e interpolar.
Passo 4
Agora calculamos o trabalho por mol. Explicação das relações energéticas (passo-a-passo):
- Para um sistema fechado, primeira lei (com convenção de trabalho positivo feito pelo sistema):
Como o processo é adiabático
, então
ou
. O trabalho
solicitado é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho).
- Para gás ideal,
. Assim
Logo
- Usamos
. Então
- Integramos
. Como , obtemos
- Substituindo em
e simplificando:
Este é o resultado prático que vamos avaliar numericamente (por mol).
Passo 5
Avaliação numérica (passo-a-passo com números):
- Constante dos gases por mol:
. - Valores utilizados:
, , , , .
Calculemos os termos internos: -
-
-
Agora cada parcela dentro dos colchetes: -
-
-
Somando essas parcelas:
Multiplicando por
:
Interpretação: o valor positivo indica que o gás realizou trabalho (expansão), e o módulo é cerca de
por mol.