Ex. 2: Ar expande-se de maneira adiabática e reversível em um sistema fechado do tipo cilindro/pistāo, partindo da pressāo de 29 bar e temperatura 460 K e chegando a 8 bar ao final do processo. Determine o trabalho realizado. Utilize a equaçāo de gás ideal e o seguinte Cp:
\frac{C p^{i g}}{R}=3,355+0,575 \cdot 10^{-3} T-0,016 \cdot 10^{5} T^{-2}

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo ar que se expande adiabaticamente e reversivelmente num sistema fechado (cilindro/pistão), partindo de P_{1}=29\\ \text{bar} e T_{1}=460\\ \text{K} e chegando a P_{2}=8\\ \text{bar}. Foi dada a dependência de C_{p} com a temperatura, pela relação
\frac{C_{p}^{ig}}{R}=3{,}355+0{,}575\cdot10^{-3}T-0{,}016\cdot10^{5}T^{-2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Processo: adiabático e reversível (isto é, isentrópico).
  • Gás ideal (ar idealizado).
  • P_{1}=29\\ \text{bar}, T_{1}=460\\ \text{K}, P_{2}=8\\ \text{bar}.
  • Função de C_{p}(T) por mol (através de C_{p}/R).
    Observação: o enunciado não dá massa ou número de mols, portanto vamos calcular o trabalho por mol ( W em J·mol^{-1}).

Passo 2

Teoria / fórmula básica (aula mastigada):
  • Para um gás ideal, a variação de entropia diferencial pode ser escrita como
\mathrm{d}s=\frac{C_{p}(T)}{T}\,\mathrm{d}T-R\,\frac{\mathrm{d}P}{P}.
Isto vem de \mathrm{d}s=(\mathrm{d}h - v\,\mathrm{d}P)/T, sabendo que \mathrm{d}h=C_{p}\mathrm{d}T e v=RT/P.
  • Num processo adiabático e reversível ( \mathrm{d}s=0), temos
\frac{C_{p}(T)}{T}\,\mathrm{d}T = R\,\frac{\mathrm{d}P}{P}.
Integramos entre os estados 1 e 2:
\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{p}(T)}{T}\,\mathrm{d}T \;=\; R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).
  • Substituímos a forma dada de C_{p}(T). Definindo
\frac{C_{p}(T)}{R}=A + B\,T + C\,T^{-2},
com A=3{,}355, B=0{,}575\cdot10^{-3}=0{,}000575 e C=-0{,}016\cdot10^{5}=-1600.
Então
\frac{C_{p}(T)}{T\,R}= \frac{A}{T} + B + C\,T^{-3}.
Integramos isso de T_{1} a T_{2}:
\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{p}(T)}{T\,R}\,\mathrm{d}T = A\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) + B\,(T_{2}-T_{1}) - \frac{C}{2}\left(T_{2}^{-2}-T_{1}^{-2}\right).
Igualando ao lado direito (dividido por R) obtemos a equação que determina T_{2}:
A\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) + B\,(T_{2}-T_{1}) - \frac{C}{2}\left(T_{2}^{-2}-T_{1}^{-2}\right) = \ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).

Passo 3

Aplicando os valores numéricos para montar a equação a resolver:
  • A=3{,}355, B=0{,}000575, C=-1600.
  • T_{1}=460\\ \text{K}.
  • \ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{8}{29}\right)=\ln(0{,}275862)\approx -1{,}287.
    Substituindo,
3{,}355\ln\!\left(\frac{T_{2}}{460}\right) +0{,}000575\,(T_{2}-460) +800\left(T_{2}^{-2}-460^{-2}\right) = -1{,}287,
onde usamos -\dfrac{C}{2}= -\dfrac{-1600}{2}=800.
Agora resolvemos numericamente essa equação para T_{2}.
Método prático (bastante usado na prova): testar valores e fazer refinamento simples (bissecção/iteração). Testes rápidos:
  • Testando T_{2}=320\\ \text{K} obtemos o lado esquerdo próximo de -1{,}287 (avaliação direta mostra o resíduo quase zero).
    Refinando os testes (avaliando a função e interpolando) chegamos ao valor
T_{2}\approx 320{,}54\\ \text{K}.
Observação didática: aqui mostramos a lógica do que foi integrado e por que a equação envolve \ln(T_{2}/T_{1}), termos line e de potência -2; na prova você pode usar uma calculadora para avaliar rapidamente a função em dois pontos e interpolar.

Passo 4

Agora calculamos o trabalho por mol. Explicação das relações energéticas (passo-a-passo):
  • Para um sistema fechado, primeira lei (com convenção de trabalho positivo feito pelo sistema):
\Delta U = Q - W.
Como o processo é adiabático Q=0, então \Delta U = -W ou W = -\Delta U. O trabalho W solicitado é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho).
  • Para gás ideal, \mathrm{d}u=C_{v}(T)\,\mathrm{d}T. Assim
\Delta U = \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{v}(T)\,\mathrm{d}T.
Logo
W = -\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{v}(T)\,\mathrm{d}T.
  • Usamos C_{v}(T)=C_{p}(T)-R. Então
W = -\int_{T_{1}}^{T_{2}} \big(C_{p}(T)-R\big)\,\mathrm{d}T = -\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{p}(T)\,\mathrm{d}T + R\,(T_{2}-T_{1}).
  • Integramos C_{p}(T). Como \dfrac{C_{p}}{R}=A + B T + C T^{-2}, obtemos
\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{p}(T)\,\mathrm{d}T = R\left[A\,(T_{2}-T_{1}) + \frac{B}{2}\,(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}) - C\,(T_{2}^{-1}-T_{1}^{-1})\right].
  • Substituindo em W e simplificando:
W = R\Big[(1-A)(T_{2}-T_{1}) - \frac{B}{2}(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}) + C\,(T_{2}^{-1}-T_{1}^{-1})\Big].
Este é o resultado prático que vamos avaliar numericamente (por mol).

Passo 5

Avaliação numérica (passo-a-passo com números):
  • Constante dos gases por mol: R=8{,}314462\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Valores utilizados: A=3{,}355, B=0{,}000575, C=-1600, T_{1}=460\\ \text{K}, T_{2}=320{,}54\\ \text{K}.
    Calculemos os termos internos:
  • T_{2}-T_{1}=320{,}54-460=-139{,}46\\ \text{K}.
  • T_{2}^{2}-T_{1}^{2}=(T_{2}-T_{1})(T_{2}+T_{1})\approx -139{,}46\cdot780{,}54\approx -108{,}841\\ \text{K}^{2}.
  • T_{2}^{-1}-T_{1}^{-1}\approx \frac{1}{320{,}54}-\frac{1}{460}\approx 0{,}000945\\ \text{K}^{-1}.
    Agora cada parcela dentro dos colchetes:
  • (1-A)(T_{2}-T_{1})=(1-3{,}355)(-139{,}46)=(-2{,}355)\cdot(-139{,}46)\approx 328{,}36.
  • -\dfrac{B}{2}(T_{2}^{2}-T_{1}^{2})=-\dfrac{0{,}000575}{2}\cdot(-108{,}841)\approx +31{,}28.
  • C\,(T_{2}^{-1}-T_{1}^{-1})=-1600\cdot0{,}000945\approx -1{,}51.
    Somando essas parcelas:
\text{colchetes}\approx 328{,}36 + 31{,}28 - 1{,}51 = 358{,}13.
Multiplicando por R:
W \approx 8{,}314462 \times 358{,}13 \approx 2{,}978\\ \text{J·mol}^{-1}.
Interpretação: o valor positivo indica que o gás realizou trabalho (expansão), e o módulo é cerca de 2{,}98\\ \text{kJ} por mol.

Resposta

W \approx 2{,}98\times 10^{3}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}

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