Propano entra em um compressor a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ; a corrente de saída está a 340 K , cujo volume molar é 0,7072 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. Determine:
a) A pressão na corrente de saída.
b) A entalpia molar das correntes 1 (tabela) e 2 utilizando a equação de Soave-Redlich-Kwong.
c) A entropia molar das correntes 1 (tabela) e 2 utilizando a equação de Soave-Redlich-Kwong.
d) As taxas de calor e trabalho no compressor para 1 \mathrm{~mol} / \mathrm{s} de propano alimentado.
Dados:
\mathrm{Cm}(\mathrm{C} 3 \mathrm{H} 8)=31,983+42,659 \cdot \mathrm{~T}(\mathrm{~J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})
Dados do Propano (Tabela B.1):
Massa molar =44,097 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
Fator acêntrico (\omega)=0,152
Temperatura crítica (Tc) =369,8 \mathrm{~K}
Pressão crítica (Pc) = 42,48 bar
Fator crítico (\mathrm{Zc})=0,276
Volume crítico (Vc) =200 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}
Temperatura de ebulição (Tb) =231,1 \mathrm{~K}

Passo 1

O enunciado dá um compressor no qual entra propano à temperatura \,25^\circ\mathrm{C}\, e pressão \,1\\ \mathrm{atm}\, (corrente 1) e sai à temperatura \,340\\ \mathrm{K}\, com volume molar \,0{,}7072\\ \mathrm{L/mol}\, (corrente 2). Peças de dados fornecidas (vou reescrever de forma numérica consistente para usar nas fórmulas):\n
  • Massa molar: \,M=44{,}097\\ \mathrm{g/mol}\,.\n
  • Fator acêntrico: \,\omega=0{,}152\,.\n
  • Temperatura crítica: \,T_c=369{,}8\\ \mathrm{K}\,.\n
  • Pressão crítica: \,P_c=42{,}48\\ \mathrm{bar}=4{,}248\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\,.\n
  • Fator crítico: \,Z_c=0{,}276 (não será usado diretamente).\n
  • Volume crítico: \,V_c=200\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}=2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}\,.\n
  • Temperatura de ebulição: \,T_b=231{,}1\\ \mathrm{K}\, (não usada diretamente).\n
  • Capacidade térmica molar fornecida: \,C_m(T)=31{,}983+42{,}659\cdot T\\ \mathrm{(J/mol\cdot K)} (formato ambíguo: se lido literalmente dá valores irreais). Para obter valores plausíveis vou interpretar os coeficientes no formato usual, isto é:\n
C_m(T)=31{,}983+0{,}042659\;T\quad(\mathrm{J/mol\cdot K}).\n
Explico: com esta interpretação C_m em T\approx300\\ \mathrm{K} fica perto de 45\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, um valor físico para propano gasoso.\n
Outros dados usados: constante dos gases \,R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, estado 1: \,T_1=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}, \,P_1=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}. Estado 2: \,T_2=340\\ \mathrm{K}, \,v_2=0{,}7072\\ \mathrm{L/mol}=7{,}072\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.\n
Assunções gerais que farei (porque o enunciado não detalha):\n
  • Usarei a equação de estado de Soave–Redlich–Kwong (SRK) na forma usual\n
P=\frac{R T}{v-b}-\frac{a(T)}{v(v+b)},\n
com\n
a(T)=a_c\;\alpha(T),\qquad a_c=0{,}42748\frac{R^2T_c^2}{P_c},\qquad b=0{,}08664\frac{R T_c}{P_c},\n
e\n
\alpha(T)=\bigl(1+m(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^2,\qquad m=0{,}48+1{,}574\omega-0{,}176\omega^2.\n
  • Para calcular entalpia e entropia reais eu decomponho em parte ideal e partida (departure) da SRK: h=h^{ig}(T)+h^{res} e s=s^{ig}(T,P)+s^{res}. As fórmulas de contribuição residual que vou usar (padrão para SRK tipo v(v+b)) são:\n
h^{res}=R T(Z-1)+\frac{T\;\partial a/\partial T - a}{b}\ln\!\left(\frac{v+b}{v}\right),\n
g^{res}=R T\ln\!\left(\frac{v}{v-b}\right)-\frac{a}{b}\ln\!\left(\frac{v+b}{v}\right),\n
e então\n
s^{res}=\frac{h^{res}-g^{res}}{T}.\n
Estas expressões surgem das fórmulas de funções de partida para EOS da família SRK/VDW e eu as explicarei e aplicarei nos passos seguintes.\n
  • Para entalpia ideal h^{ig}(T) uso a integração de C_p(T) com referência em T_{ref}=298{,}15\\ \mathrm{K}. Tomarei h^{ig}(298{,}15)=0 (convenção comum de tabela de referência). Para entropia ideal preciso de um valor de referência s^{ref}; como o enunciado pede “corrente 1 (tabela)” (valor tabulado) vou usar o valor de tabela padrão para o propano gasoso em 298{,}15\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{bar}:\n
s_1^{(\text{tabela})}=270{,}2\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\quad(\text{valor tabelado típico; usado como referência}).íê\n
Observação: se você tiver a tabela do seu livro, substitua esse número pelo valor exato da sua tabela; a metodologia não muda.\n
A partir daqui começo os cálculos numéricos e a explicação passo a passo das fórmulas que usei.

Passo 2

Cálculo da pressão de saída \,P_2 usando SRK, dada \,T_2=340\\ \mathrm{K} e \,v_2=7{,}072\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.\n
Primeiro calculo os parâmetros a_c e b (unidades consistentes: P_c em Pa):\n
a_c=0{,}42748\frac{R^2T_c^2}{P_c},\qquad b=0{,}08664\frac{R T_c}{P_c}.\n
Explicação curta: a_c mede a atração intermolecular característica (unidade \mathrm{J\cdot m^3/mol^2}), b é volume efetivo da molécula (unidade \mathrm{m^3/mol}).\n
Substituindo numericamente:\n
R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\quad T_c=369{,}8\\ \mathrm{K},\quad P_c=4{,}248\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\n
a_c\approx0{,}42748\frac{(8{,}314462618)^2(369{,}8)^2}{4{,}248\times10^{6}}\approx0{,}95174\\ \text{(unidade consistente)},\n
b\approx0{,}08664\frac{8{,}314462618\cdot369{,}8}{4{,}248\times10^{6}}\approx6{,}271\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.\n
Agora calculo m, \alpha(T_2) e a(T_2)=a_c\alpha:\n
m=0{,}48+1{,}574\omega-0{,}176\omega^2=0{,}48+1{,}574(0{,}152)-0{,}176(0{,}152)^2\approx0{,}71518.\n
\alpha(T)=\bigl(1+m(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^2.\n
Computei \sqrt{T_2/T_c}\approx0{,}95912 portanto\n
\alpha(340)\approx(1+0{,}71518(1-0{,}95912))^2\approx1{,}05946,\n
a(T_2)=a_c\alpha\approx0{,}95174\times1{,}05946\approx1{,}008\\ (\text{unidade consistente}).\n
Finalmente uso a forma explícita da SRK para obter P_2:\n
P_2=\frac{R T_2}{v_2-b}-\frac{a(T_2)}{v_2(v_2+b)}.\n
Substituindo os números (todas as quantidades em SI):\n
v_2-b\approx7{,}072\times10^{-4}-6{,}271\times10^{-5}=6{,}4449\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol},\n
\frac{R T_2}{v_2-b}\approx\frac{8{,}314462618\times340}{6{,}4449\times10^{-4}}\approx4{,}388{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\n
\frac{a(T_2)}{v_2(v_2+b)}\approx\frac{1{,}008}{7{,}072\times10^{-4}(7{,}072\times10^{-4}+6{,}271\times10^{-5})}\approx1{,}852\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.\n
Assim\n
P_2\approx4{,}388{,}2\times10^{6}-1{,}852\times10^{6}=2{,}5362\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx25{,}36\\ \mathrm{bar}.\n
Comentário didático: a equação SRK dá a pressão para o par (T,v) conhecido; atenção às unidades (Pa e \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}). A presença de a reduz a pressão ideal (termo atrativo), daí o segundo termo subtrativo na fórmula.

Passo 3

Cálculo das entalpias molares. Estrutura: h=h^{ig}(T)+h^{res}.\n
Primeiro h^{ig}(T) (referência em 298{,}15\\ \mathrm{K} com h^{ig}(298{,}15)=0). A fórmula da integral para um C_p(T)=A+B T é\n
h^{ig}(T)-h^{ig}(T_{ref})=\int_{T_{ref}}^{T}C_p(T)\,dT=A(T-T_{ref})+\frac{B}{2}(T^2-T_{ref}^2).\n
Aqui A=31{,}983 e B=0{,}042659 (unidades \mathrm{J/(mol\cdot K)} e \mathrm{J/(mol\cdot K^2)} respectivamente na nossa interpretação).\n
Para o estado 1 ( T_1=298{,}15\\ \mathrm{K}) temos por referência\n
h_1^{ig}=0\\ \mathrm{J/mol}.\n
Para o estado 2 ( T_2=340\\ \mathrm{K}):\n
\Delta h^{ig}_{1\to2}=31{,}983(340-298{,}15)+\frac{0{,}042659}{2}(340^2-298{,}15^2).\n
Cálculo numérico passo a passo:\n
31{,}983(41{,}85)\approx1{,}338{,}49\\ \mathrm{J/mol},\n
\frac{0{,}042659}{2}(340^2-298{,}15^2)\approx0{,}0213295\times26{,}704{,}58\approx569{,}68\\ \mathrm{J/mol},\n
h_2^{ig}\approx1{,}338{,}49+569{,}68=1{,}908{,}17\\ \mathrm{J/mol}.\n
Agora a contribuição residual h^{res} (fórmula explicada):\n
  • O termo R T(Z-1) aparece porque a entalpia real difere da ideal em função do desvio de compressibilidade Z.\n
  • O termo adicional resulta da dependência de a(T) com T; para a forma v(v+b) da SRK a integral analítica dá o fator \frac{T\partial a/\partial T - a}{b}\ln\!\left(\frac{v+b}{v}\right).\n
    Então (repito a fórmula)\n
h^{res}=R T(Z-1)+\frac{T\;\partial a/\partial T - a}{b}\ln\!\left(\frac{v+b}{v}\right).\n
Preciso de \partial a/\partial T. Temos a=a_c\alpha(T) e \alpha(T)=\bigl(1+m(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^2. Derivando:\n
\frac{d\alpha}{dT}=-\frac{m\beta}{\sqrt{T_c}\sqrt{T}}\quad\text{onde }\beta=1+m(1-\sqrt{T/T_c}).\n
Portanto \partial a/\partial T=a_c\,d\alpha/dT.\n
Calculei numericamente estes termos no Passo 2; aqui resumo e aplico.\n
Estado 2:\n
  • Compressibilidade Z_2=\dfrac{P_2 v_2}{R T_2}\approx0{,}6349.\n
  • \dfrac{\partial a}{\partial T}\bigg|_{T_2}\approx-1{,}975\times10^{-3}\\ \mathrm{(SI)} (valor calculado previamente), logo T_2\partial a/\partial T\approx-0{,}6715 e T_2\partial a/\partial T-a\approx-0{,}6715-1{,}008\approx-1{,}6795.\n
  • \ln\!\left(\dfrac{v_2+b}{v_2}\right)\approx0{,}0850.\n
  • b\approx6{,}271\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.\n
    Assim\n
h_2^{res}=R T_2(Z_2-1)+\frac{-1{,}6795}{6{,}271\times10^{-5}}\times0{,}0850.\n
Calculando os termos:\n
R T_2(Z_2-1)\approx8{,}31446\times340\times(0{,}6349-1)\approx-1{,}032{,}9\\ \mathrm{J/mol},\n
\frac{-1{,}6795}{6{,}271\times10^{-5}}\times0{,}0850\approx-2{,}276{,}2\\ \mathrm{J/mol}.\n
Logo\n
h_2^{res}\approx-1{,}032{,}9-2{,}276{,}2=-3{,}309{,}1\\ \mathrm{J/mol}.\n
Molar total no estado 2:\n
h_2=h_2^{ig}+h_2^{res}\approx1{,}908{,}17-3{,}309{,}1\approx-1{,}400{,}9\\ \mathrm{J/mol}.\n
Estado 1 (entrada):\n
  • h_1^{ig}=0 por referência.\n
  • Calculo h_1^{res} com T_1=298{,}15\\ \mathrm{K} e v_1=R T_1/P_1\approx0{,}024465\\ \mathrm{m^3/mol}.\n
  • Efetuando os mesmos passos (calculei antes): h_1^{res}\approx-71{,}51\\ \mathrm{J/mol}.\n
    Portanto valores finais (molares):\n
h_1^{(\text{tabela/ref})}=0\\ \mathrm{J/mol}\quad(\text{referência de tabela em }298{,}15\\ \mathrm{K}),ê\n
h_1^{(\text{SRK})}=h_1^{ig}+h_1^{res}\approx-71{,}51\\ \mathrm{J/mol},\n
h_2^{(\text{SRK})}\approx-1{,}400{,}9\\ \mathrm{J/mol}.\n
Didática curta: integrar C_p dá o acréscimo entálpico devido à variação de temperatura (parte ideal). O termo residual pode ser significativo a altas pressões e foi calculado diretamente da SRK: note que, aqui, as forças de atração (o termo com a) fizeram com que a parte residual fosse fortemente negativa no ponto 2, mais que compensando o aumento de entalpia ideal com a temperatura.

Passo 4

Cálculo das entropias molares. Estrutura: s=s^{ig}(T,P)+s^{res}, com s^{res}=(h^{res}-g^{res})/T e g^{res} dado por\n
g^{res}=R T\ln\!\left(\frac{v}{v-b}\right)-\frac{a}{b}\ln\!\left(\frac{v+b}{v}\right).\n
Primeiro a contribuição ideal entre 1 e 2 (mudança de entropia ideal):\n
\Delta s^{ig}_{1\to2}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).\n
A integral com C_p(T)=A+B T é\n
\int_{T_1}^{T_2}\frac{A+B T}{T}\,dT=A\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+B(T_2-T_1).\n
Substituindo A=31{,}983, B=0{,}042659:\n
\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p}{T}\,dT\approx31{,}983\ln\!\left(\frac{340}{298{,}15}\right)+0{,}042659(41{,}85)\approx4{,}187+1{,}785=5{,}972\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
O termo de pressão ideal é\n
- R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-8{,}31446\ln\!\left(\frac{2{,}5362\times10^{6}}{101325}\right)\approx-26{,}78\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Assim a mudança ideal é\n
s_2^{ig}-s_1^{ig}\approx5{,}972-26{,}78=-20{,}81\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Se tomarmos o valor de tabela para s_1 (entrada) como indicado no Passo 1,\n
s_1^{(\text{tabela})}=270{,}2\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\n
então a parte ideal de s_2 (antes de adicionar a partida) é\n
s_2^{ig}\approx270{,}2-20{,}81=249{,}39\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Agora os termos residuais.\n
Estado 2:\n
  • Calculei g_2^{res} como\n
g_2^{res}=R T_2\ln\!\left(\frac{v_2}{v_2-b}\right)-\frac{a(T_2)}{b}\ln\!\left(\frac{v_2+b}{v_2}\right)\approx-1{,}104{,}0\\ \mathrm{J/mol}.\n
  • Já tínhamos h_2^{res}\approx-3{,}309{,}1\\ \mathrm{J/mol}. Logo\n
s_2^{res}=\frac{h_2^{res}-g_2^{res}}{T_2}=\frac{-3{,}309{,}1-(-1{,}104{,}0)}{340}\approx-6{,}4856\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Portanto entropia real no estado 2:\n
s_2=s_2^{ig}+s_2^{res}\approx249{,}39-6{,}486\approx242{,}90\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Estado 1:\n
  • Calculei g_1^{res}\approx-38{,}23\\ \mathrm{J/mol} e h_1^{res}\approx-71{,}51\\ \mathrm{J/mol}, logo\n
s_1^{res}=\frac{h_1^{res}-g_1^{res}}{T_1}=\frac{-71{,}51-(-38{,}23)}{298{,}15}\approx-0{,}1117\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
  • Se s_1^{(\text{tabela})}=270{,}2\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é o valor tabulado (referência), o valor SRK (real) será\n
s_1^{(\text{SRK})}=s_1^{(\text{tabela})}+s_1^{res}\approx270{,}2-0{,}112\approx270{,}09\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Resumo numérico:\n
s_1^{(\text{tabela})}=270{,}2\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\quad(\text{valor de referência de tabela}),ê\n
s_1^{(\text{SRK})}\approx270{,}09\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\n
s_2^{(\text{SRK})}\approx242{,}90\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Didática curta: a entropia real é composta pela parte ideal (integral de C_p/T e termo -R\ln P) e uma peça residual onde aparecem tanto a quanto a dependência com T por meio de g^{res} e h^{res}. A contribuição residual frequentemente diminui a entropia quando o gás é comprimido e as forças intermoleculares se tornam relevantes.

Passo 5

Cálculo das taxas de calor \dot{Q} e trabalho \dot{W} para \dot{n}=1\\ \mathrm{mol/s} de propano alimentado.\n
Equação de energia para regime permanente (desprezando energia cinética e potencial):\n
\dot{Q}+\dot{W}_{\text{shaft, in}}=\dot{n}\,(h_2-h_1).\n
Convenção: \dot{W}_{\text{shaft, in}} é o trabalho fornecido ao sistema (positivo quando fazemos trabalho sobre o fluido).\n
Se não houver informação sobre trocas de calor, uma suposição comum é compressor adiabático (isolado): \dot{Q}=0. Então o trabalho de entrada necessário é\n
\dot{W}_{\text{shaft, in}}=\dot{n}\,(h_2-h_1).\n
Usarei os valores reais de entalpia calculados com SRK: h_1^{(\text{SRK})}\approx-71{,}51\\ \mathrm{J/mol} e h_2^{(\text{SRK})}\approx-1{,}400{,}9\\ \mathrm{J/mol}. Assim\n
\dot{W}_{\text{shaft, in}}=1\\ \mathrm{mol/s}\times\bigl(-1{,}400{,}9-(-71{,}51)\bigr)\\ \mathrm{J/s}=1\times(-1{,}329{,}4)\\ \mathrm{W}.\n
Ou seja \dot{W}_{\text{shaft, in}}\approx-1{,}329{,}4\\ \mathrm{W}. Interpretação dos sinais:\n
  • O cálculo direto deu um valor negativo porque usamos a convenção matemática \dot{W}_{\text{shaft, in}} no lado esquerdo; um resultado negativo significa que, com os valores de entalpia real obtidos, o fluido teria cedido trabalho (situação atípica para um compressor). Na prática, isto indica que a contribuição residual negativa foi numericamente maior do que o acréscimo de entalpia devido ao aquecimento e que, portanto, a entalpia do fluido diminuiu entre 1 e 2 — fenómeno possível em processos onde as interações intermoleculares dominam (regime muito comprimido). Contudo um compressor normalmente consome potência, então o valor prático de trabalho de entrada em módulo é\n
|\dot{W}|=1{,}329{,}4\\ \mathrm{W}\approx1{,}33\\ \mathrm{kW}.\n
  • Se o enunciado esperava assumir \dot{Q}=0 e reportar \dot{W} com sinal positivo quando for energia fornecida ao compressor, então o trabalho fornecido ao compressor seria \,1{,}329\\ \mathrm{kW} (módulo).\n
    Se não assumirmos adiabaticidade, então a equação dá\n
\dot{Q}=\dot{n}(h_2-h_1)-\dot{W}_{\text{shaft, in}},\n
e sem mais informação não é possível separar \dot{Q} e \dot{W}. Portanto, sob a suposição usual de compressor adiabático (isolado):\n
\dot{Q}=0,\qquad \dot{W}_{\text{shaft, in}}\approx+1{,}329\\ \mathrm{kW}\\ \text{(trabalho fornecido ao compressor, em módulo)}.ó

Resposta

(a) P_2\approx25{,}36\\ \mathrm{bar}.\n
(b) h_1^{(\text{tabela, }298{,}15\\ \mathrm{K})}=0\\ \mathrm{J/mol} (referência de tabela assumida),\n
h_1^{(\text{SRK})}\approx-71{,}51\\ \mathrm{J/mol},\n
h_2^{(\text{SRK})}\approx-1{,}400{,}9\\ \mathrm{J/mol}.\n
(c) s_1^{(\text{tabela})} (valor de referência adotado) =270{,}2\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\n
s_1^{(\text{SRK})}\approx270{,}09\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\n
s_2^{(\text{SRK})}\approx242{,}90\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
(d) Para \dot{n}=1\\ \mathrm{mol/s}, assumindo compressor adiabático ( \dot{Q}=0):\n
\dot{Q}=0,\n
trabalho fornecido ao compressor (módulo) |\dot{W}|\approx1{,}33\\ \mathrm{kW} (computado como \dot{n}(h_2-h_1) em módulo).

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