Em uma fábrica de conservas de alimentos, está se preparando o processamento de azeitonas em conservas. Tanque de mistura utilizado para o preparo da salmoura, a qual serve como líquido de cobertura para o envase das azeitonas está inicialmente com 50 kg de água a 29^circ C. De repente, as duas válvulas de entrada A e B, e a válvula simples de saída C, são abertas de modo que os duas linhas de fluxos de água, cada uma com vazão de 5 kg / min, entrem no tanque, e que um fluxo de 10 kg / min saia do tanque pela linha de saída. A temperatura da linha de entrada A é de 80^circ C e da linha B é de 50^circ C. O tanque é bem misturado, tanto que a temperatura da linha C de saída do tanque é sempre a mesma temperatura que é do interior do tanque.
a) Calcular a temperatura em estado estacionário que será obtida no tanque;
b) Desenvolver uma equação para a temperatura do fluxo no tanque em função do tempo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um tanque com 50 kg de água inicialmente a 29^circC. Entram duas correntes de água de 5 kg/min cada, a 80^circC (válvula A) e 50^circC (válvula B), e sai uma corrente de 10 kg/min pela válvula C. O tanque é bem misturado, então a temperatura de saída é sempre a temperatura instantânea do tanque. O objetivo é (a) encontrar a temperatura de regime estacionário e (b) obter a equação de T(t).

Passo 2

Escrevemos o balanço de energia (taxa de variação do conteúdo térmico no tanque). Como a massa no tanque é constante ( M=50 kg) e o calor específico c é o mesmo em todas as correntes, temos
M,c,dTdt =dot mA,c,(TA-T)+dot mB,c,(TB-T)
onde dot mA=dot mB=5 kg/min, TA=80^circC, TB=50^circC. Cancelando c e substituindo M e as vazões,
50dTdt =5(80-T)+5(50-T) =650-10T
Logo
dTdt=13-0,2,T

Passo 3

Para achar o ponto de equilíbrio (regime estacionário), basta impor tfracdTdt=0. Assim,
0=13-0,2,Tss Longrightarrow Tss=130,2=65^circC

Passo 4

Agora resolvemos a equação diferencial linear
dTdt+0,2,T=13
A solução geral é
T(t)=Tss+l(T(0)-Tssr)e^-0,2,t =65+l(29-65r)e^-0,2,t

Passo 5

Simplificando o coeficiente da exponencial, obtemos
T(t)=65-36,e^-0,2,t,
onde t está em minutos e T em graus Celsius.

Resposta

a) 65^circC
b) T(t)=65-36,e^-0,2,t (com t em minutos)

Exercícios relacionados