Em uma fábrica de conservas de alimentos, está se preparando o processamento de azeitonas em conservas. Tanque de mistura utilizado para o preparo da salmoura, a qual serve como líquido de cobertura para o envase das azeitonas está inicialmente com 50 kg de água a
. De repente, as duas válvulas de entrada A e B, e a válvula simples de saída C, são abertas de modo que os duas linhas de fluxos de água, cada uma com vazão de
, entrem no tanque, e que um fluxo de
saia do tanque pela linha de saída. A temperatura da linha de entrada
é de
e da linha
é de
. O tanque é bem misturado, tanto que a temperatura da linha
de saída do tanque é sempre a mesma temperatura que é do interior do tanque.
a) Calcular a temperatura em estado estacionário que será obtida no tanque;
b) Desenvolver uma equação para a temperatura do fluxo no tanque em função do tempo.
a) Calcular a temperatura em estado estacionário que será obtida no tanque;
b) Desenvolver uma equação para a temperatura do fluxo no tanque em função do tempo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um tanque com
kg de água inicialmente a
. Entram duas correntes de água de
cada, a
(válvula A) e
(válvula B), e sai uma corrente de
pela válvula C. O tanque é bem misturado, então a temperatura de saída é sempre a temperatura instantânea do tanque. O objetivo é (a) encontrar a temperatura de regime estacionário e (b) obter a equação de
.
Passo 2
Escrevemos o balanço de energia (taxa de variação do conteúdo térmico no tanque). Como a massa no tanque é constante (
kg) e o calor específico
é o mesmo em todas as correntes, temos
onde
,
,
. Cancelando
e substituindo
e as vazões,
Logo
Passo 3
Para achar o ponto de equilíbrio (regime estacionário), basta impor
. Assim,
Passo 4
Agora resolvemos a equação diferencial linear
A solução geral é
Passo 5
Simplificando o coeficiente da exponencial, obtemos
onde
está em minutos e
em graus Celsius.
Resposta
a)
b) (com
em minutos)
b)