Faça uma breve pesquisa sobre:
a aproximação de Stirling e demonstre que, para “x” muito grande, podemos considerar
a aproximação de Stirling e demonstre que, para “x” muito grande, podemos considerar
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) uma breve pesquisa sobre a aproximação de Stirling; (ii) demonstrar que, para
muito grande, podemos considerar
.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: o símbolo é o fatorial de
(aqui
é um inteiro grande; podemos depois estender a reais por interpolação), e queremos uma aproximação assintótica para
quando
.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: o símbolo
Passo 2
Breve pesquisa histórica e enunciado da aproximação de Stirling (resumido): James Stirling (século XVIII) e outros como de Moivre estudaram o crescimento do fatorial. A fórmula de Stirling clássica diz, para inteiros
grandes,
onde o símbolo
significa que o quociente entre os dois lados tende a
quando
. Tomando logaritmo, obtemos a forma mais usada
Essa é a versão mais precisa; para o enunciado basta reter os termos dominantes
.
Passo 3
Plano de demonstração escolhido (método): aproximar a soma
por uma integral de
. Isso é um método básico e suficiente para obter os termos dominantes. Vou usar desigualdades que comparam somas e integrais para funções monotônicas, e, em seguida, avaliar a integral explicitamente.
Passo 4
Construção das desigualdades entre soma e integrais. A função
é crescente para
. Para inteiros
vale
Somando essas desigualdades para
obtemos
Como
, isso equivale a desigualdades para
:
Passo 5
Avaliação das integrais. A primitiva de
é
. Portanto
e
Assim temos o encadeamento
Passo 6
Análise assintótica das duas bordas para extrair o termo dominante. Subtraindo
de cada desigualdade obtemos
A diferença do lado direito pode ser escrita e estimada usando
e a expansão
. Fazendo isso (ou apenas observando ordens) encontramos que o lado direito é da ordem
(mais precisamente é aproximadamente
). Em particular, existe uma constante
tal que
para
grande. Portanto o erro
cresce no máximo como
, enquanto o termo dominante
cresce como
. Assim, em termos relativos,
Isto mostra que os termos restantes são desprezíveis perante
e, em particular, perante
.
Passo 7
Conclusão prática e comentário: pelos passos anteriores, a parte dominante de
quando
é grande é
. Em notação de aproximação assintótica podemos escrever
ou, de modo mais frasal e prático, para
(ou
) muito grande podemos considerar
Se quisermos maior precisão devemos usar a fórmula completa de Stirling com o termo
e termos de ordem inferior:
Um exemplo numérico rápido para intuir o erro: para
temos
e
(erro ~2), já para
a aproximação relativa melhora bastante.