Faça uma breve pesquisa sobre:
a aproximação de Stirling e demonstre que, para “x” muito grande, podemos considerar \ln (\mathrm{x}!)=\mathrm{x} \cdot \ln (\mathrm{x})-\mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) uma breve pesquisa sobre a aproximação de Stirling; (ii) demonstrar que, para x muito grande, podemos considerar \ln(\mathrm{x}!)=\mathrm{x}\cdot\ln(\mathrm{x})-\mathrm{x}.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: o símbolo \mathrm{x}! é o fatorial de \mathrm{x} (aqui \mathrm{x} é um inteiro grande; podemos depois estender a reais por interpolação), e queremos uma aproximação assintótica para \ln(\mathrm{x}!) quando \mathrm{x}\to\infty.

Passo 2

Breve pesquisa histórica e enunciado da aproximação de Stirling (resumido): James Stirling (século XVIII) e outros como de Moivre estudaram o crescimento do fatorial. A fórmula de Stirling clássica diz, para inteiros n grandes,
n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^n,
onde o símbolo \sim significa que o quociente entre os dois lados tende a 1 quando n\to\infty. Tomando logaritmo, obtemos a forma mais usada
\ln(n!) = n\ln n - n + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1).
Essa é a versão mais precisa; para o enunciado basta reter os termos dominantes n\ln n - n.

Passo 3

Plano de demonstração escolhido (método): aproximar a soma \ln(n!)=\sum_{k=1}^n \ln k por uma integral de \ln t. Isso é um método básico e suficiente para obter os termos dominantes. Vou usar desigualdades que comparam somas e integrais para funções monotônicas, e, em seguida, avaliar a integral explicitamente.

Passo 4

Construção das desigualdades entre soma e integrais. A função t\mapsto\ln t é crescente para t>0. Para inteiros k\ge 2 vale
\int_{k-1}^{k} \ln t\;dt \le \ln k \le \int_{k}^{k+1} \ln t\;dt.
Somando essas desigualdades para k=2,3,\dots,n obtemos
\int_{1}^{n} \ln t\;dt \le \sum_{k=2}^{n}\ln k \le \int_{2}^{n+1} \ln t\;dt.
Como \ln 1=0, isso equivale a desigualdades para \ln(n!)=\sum_{k=1}^n\ln k:
\int_{1}^{n} \ln t\;dt \le \ln(n!) \le \int_{2}^{n+1} \ln t\;dt.

Passo 5

Avaliação das integrais. A primitiva de \ln t é t\ln t - t. Portanto
\int_{1}^{n} \ln t\;dt = \bigl[t\ln t - t\bigr]_{1}^{n} = n\ln n - n + 1,
e
\int_{2}^{n+1} \ln t\;dt = \bigl[t\ln t - t\bigr]_{2}^{n+1} = (n+1)\ln(n+1) - (n+1) - \bigl(2\ln 2 - 2\bigr).
Assim temos o encadeamento
n\ln n - n + 1 \le \ln(n!) \le (n+1)\ln(n+1) - (n+1) - \bigl(2\ln 2 - 2\bigr).

Passo 6

Análise assintótica das duas bordas para extrair o termo dominante. Subtraindo n\ln n - n de cada desigualdade obtemos
1 \le \ln(n!) - (n\ln n - n) \le (n+1)\ln(n+1) - (n\ln n) - 1 - \bigl(2\ln 2 - 2\bigr).
A diferença do lado direito pode ser escrita e estimada usando \ln(n+1)=\ln n + \ln(1+1/n) e a expansão \ln(1+1/n)=\tfrac{1}{n}+O\bigl(\tfrac{1}{n^2}\bigr). Fazendo isso (ou apenas observando ordens) encontramos que o lado direito é da ordem \ln n (mais precisamente é aproximadamente \ln n + O(1)). Em particular, existe uma constante C tal que
1 \le \ln(n!) - (n\ln n - n) \le C\ln n
para n grande. Portanto o erro \ln(n!) - (n\ln n - n) cresce no máximo como \ln n, enquanto o termo dominante n\ln n cresce como n\ln n. Assim, em termos relativos,
\frac{\ln(n!) - (n\ln n - n)}{n} \to 0\quad\text{quando }n\to\infty.
Isto mostra que os termos restantes são desprezíveis perante n e, em particular, perante n\ln n.

Passo 7

Conclusão prática e comentário: pelos passos anteriores, a parte dominante de \ln(n!) quando n é grande é n\ln n - n. Em notação de aproximação assintótica podemos escrever
\ln(n!) = n\ln n - n + o(n),
ou, de modo mais frasal e prático, para n (ou x) muito grande podemos considerar
\ln(\mathrm{x}!) \approx \mathrm{x}\ln \mathrm{x} - \mathrm{x}.
Se quisermos maior precisão devemos usar a fórmula completa de Stirling com o termo \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n) e termos de ordem inferior:
\ln(n!) = n\ln n - n + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1).
Um exemplo numérico rápido para intuir o erro: para n=10 temos n\ln n - n\approx 13{,}026 e \ln(10!)\approx 15{,}104 (erro ~2), já para n=100 a aproximação relativa melhora bastante.

Resposta

\displaystyle \ln(\mathrm{x}!)\approx \mathrm{x}\ln \mathrm{x}-\mathrm{x}

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