QUESTÃO 03 (2.0) Considere o sistema formado por n-hexano(1), i-heptano(2) e n-octano (3) e que este sistema segue a leí de Raoult. A pressão de vapor dos compostos puros é dada pela equação de Antoine (
bar e
K ):
Em que,
Conrosto
9,52214
2869,781
9,27555
2921,142
9,32241
3120,293
O sistema, após o flash, atinge uma condição em que
(composição da fase liquida) e
(composição da fase vapor). Determine a temperatura, a pressão e as quantidades de vapor e de líquido formadas.
| Conrosto |
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9,52214 | 2869,781 |
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9,27555 | 2921,142 |
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9,32241 | 3120,293 |
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Passo 1
O enunciado dá um sistema ternário composto por n-hexano (1), i-heptano (2) e n-octano (3) que obedece à lei de Raoult. A equação de Antoine (com ln e pressão em bar, temperatura em K) é
As constantes fornecidas são:
As composições de equilíbrio do flash são dadas (fase líquida e vapor):
Pergunta-se: determinar a temperatura
, a pressão
e as quantidades de vapor e líquido formadas.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- As frações líquidas e vapor para o componente 3 podem ser calculadas por complementaridade:
- Não foi fornecida a composição global (composição do alimentador) nem a quantidade total inicial
.
Passo 2
Explicando a teoria que vamos usar (bem devagar e com calma):
- Lei de Raoult (para uma mistura ideal de líquidos e vapor ideal): em equilíbrio de fase para cada componente
Aqui:
-
é a fração molar do componente na fase vapor; -
é a fração molar do componente na fase líquida; -
é a pressão total do sistema no equilíbrio; -
é a pressão de vapor do componente puro na temperatura .
- Define-se a constante de equilíbrio (razão
):
Isso nos dá a relação
para cada
. Como
é única para todo o sistema, devemos ter
- A equação de Antoine (fornecida) nos dá
através de
pois a forma dada foi
.
Estratégia de solução: calcular
(pois
e
são dados). Em seguida montar a equação de igualdade de pressões entre dois componentes, por exemplo
e resolver numericamente para
. Com
achado obtemos
por
(ou usando qualquer outra componente). Depois verificamos consistência com o componente 3.
Passo 3
Calculemos primeiro as frações faltantes e os
:
- Frações do componente 3:
- Constantes de equilíbrio
:
(Explanação:
indica componente mais volátil (tende a vapor),
menos volátil.)
Passo 4
Montagem da equação para encontrar
. Usamos os componentes 1 e 2:
com
Método numérico (explicando a lógica): como
é contínua e monótona típica para esse tipo de expressão, podemos usar o método da bissecção ou tentativas sucessivas (iteração). Vou fazer uma varredura simples para achar um intervalo em que
muda de sinal e depois interpolar.
Testes rápidos (valores de referência, mostrar como avaliar):
-
Para
(teste): -
, então e . -
, então e . - Então
e . Assim .
-
-
Para
(teste): - Fazendo os mesmos cálculos (usar a Antoine dada) obtém-se
e . - Então
e . Assim muda de sinal em relação a valores menores (aprox. pequeno negativo).
- Fazendo os mesmos cálculos (usar a Antoine dada) obtém-se
Como
e
, há uma raiz entre esses valores. Refinando por iteração (bissecção/interpolação rápida) encontra-se a raiz aproximada em torno de
(Observação didática: para uma prova, você pode aplicar bissecção com 2–4 iterações até obter precisão razoável; aqui apresentei a varredura e o refinamento para evitar cálculos excessivamente longos.)
Passo 5
Cálculo da pressão total
usando a relação
(ou a partir de qualquer componente):
Com
,
- calcule
e exponencie para obter . Usando os números:
Logo
Verificação (consistência com o componente 2 e 3):
- Para
, com obtemos e (próximo do valor anterior). - Para
, calculado na mesma dá também muito próximo de .
Isso confirma coerência e torna aceitáveis os valores:
Passo 6
Sobre as quantidades de vapor e líquido formadas (explicação didática):
- Para determinar as frações de vapor
e líquido resultantes de um flash é preciso conhecer a composição global do alimentador (as frações molares totais antes do equilíbrio) e a quantidade total se quiser quantidades absolutas. O balanço de massa para cada componente dá:
Rearranjando para
(lever rule/Rachford–Rice simples) obtemos, para qualquer componente
tal que
,
- Note que todas as equações para diferentes
devem fornecer o mesmo (consistência de balanço) se for o mesmo para todos. Sem não há como calcular nem as quantidades e absolutas.
Conclusão prática: com os dados do enunciado (somente
e
) podemos determinar
e
, mas NÃO podemos determinar as quantidades de vapor e líquido formadas sem que seja fornecida a composição global
(ou a fração de vapor diretamente).
Resposta
Não é possível determinar as quantidades de vapor e de líquido formadas porque a composição global do alimentador