QUESTÃO 03 (2.0) Considere o sistema formado por n-hexano(1), i-heptano(2) e n-octano (3) e que este sistema segue a leí de Raoult. A pressão de vapor dos compostos puros é dada pela equação de Antoine ( P f^{\text {sat }} \mathrm{em} bar e T \mathrm{em} K ):
\ln P_{i}^{s a t}=A_{i}-\frac{B_{i}}{T+C_{i}}
Em que,
Conrosto A_{i} B_{i} C_{i}
1^{a} 9,52214 2869,781 -40,162
2^{b} 9,27555 2921,142 -56,199
3^{b} 9,32241 3120,293 -63,633
O sistema, após o flash, atinge uma condição em que x_{1}=0,2071, x_{2}=0,3563 (composição da fase liquida) e y_{1}=0,4711, y_{2}=0,3446 (composição da fase vapor). Determine a temperatura, a pressão e as quantidades de vapor e de líquido formadas.

Passo 1

O enunciado dá um sistema ternário composto por n-hexano (1), i-heptano (2) e n-octano (3) que obedece à lei de Raoult. A equação de Antoine (com ln e pressão em bar, temperatura em K) é
\ln P_i^{sat} = A_i - \frac{B_i}{T + C_i}.
As constantes fornecidas são:
\begin{array}{cccc} \text{Composto} & A_i & B_i & C_i\\hline 1 & 9{,}52214 & 2869{,}781 & -40{,}162\\\\ 2 & 9{,}27555 & 2921{,}142 & -56{,}199\\\\ 3 & 9{,}32241 & 3120{,}293 & -63{,}633 \end{array}
As composições de equilíbrio do flash são dadas (fase líquida e vapor):
x_1=0{,}2071,\quad x_2=0{,}3563,\quad y_1=0{,}4711,\quad y_2=0{,}3446.
Pergunta-se: determinar a temperatura T, a pressão P e as quantidades de vapor e líquido formadas.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • As frações líquidas e vapor para o componente 3 podem ser calculadas por complementaridade:
x_3 = 1 - x_1 - x_2,\qquad y_3 = 1 - y_1 - y_2.
  • Não foi fornecida a composição global (composição do alimentador) nem a quantidade total inicial F.

Passo 2

Explicando a teoria que vamos usar (bem devagar e com calma):
  1. Lei de Raoult (para uma mistura ideal de líquidos e vapor ideal): em equilíbrio de fase para cada componente i
y_i\,P = x_i\,P_i^{sat}(T).
Aqui:
  • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor;
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida;
  • P é a pressão total do sistema no equilíbrio;
  • P_i^{sat}(T) é a pressão de vapor do componente i puro na temperatura T.
  1. Define-se a constante de equilíbrio (razão K):
K_i \equiv \frac{y_i}{x_i} = \frac{P_i^{sat}(T)}{P}.
Isso nos dá a relação
P = \frac{P_i^{sat}(T)}{K_i}
para cada i. Como P é única para todo o sistema, devemos ter
\frac{P_1^{sat}(T)}{K_1} = \frac{P_2^{sat}(T)}{K_2} = \frac{P_3^{sat}(T)}{K_3}.
  1. A equação de Antoine (fornecida) nos dá P_i^{sat}(T) através de
P_i^{sat}(T) = \exp\!\left(A_i - \frac{B_i}{T + C_i}\right),
pois a forma dada foi \ln P_i^{sat} = A_i - B_i/(T+C_i).
Estratégia de solução: calcular K_i = y_i/x_i (pois x_i e y_i são dados). Em seguida montar a equação de igualdade de pressões entre dois componentes, por exemplo
f(T) \equiv \frac{P_1^{sat}(T)}{K_1} - \frac{P_2^{sat}(T)}{K_2} = 0,
e resolver numericamente para T. Com T achado obtemos P por P = P_1^{sat}(T)/K_1 (ou usando qualquer outra componente). Depois verificamos consistência com o componente 3.

Passo 3

Calculemos primeiro as frações faltantes e os K_i:
  1. Frações do componente 3:
x_3 = 1 - 0{,}2071 - 0{,}3563 = 0{,}4366,
y_3 = 1 - 0{,}4711 - 0{,}3446 = 0{,}1843.
  1. Constantes de equilíbrio K_i:
K_1 = \frac{y_1}{x_1}=\frac{0{,}4711}{0{,}2071}\approx 2{,}275,
K_2 = \frac{y_2}{x_2}=\frac{0{,}3446}{0{,}3563}\approx 0{,}967,
K_3 = \frac{y_3}{x_3}=\frac{0{,}1843}{0{,}4366}\approx 0{,}422.
(Explanação: K_i>1 indica componente mais volátil (tende a vapor), K_i<1 menos volátil.)

Passo 4

Montagem da equação para encontrar T. Usamos os componentes 1 e 2:
f(T) = \frac{P_1^{sat}(T)}{K_1} - \frac{P_2^{sat}(T)}{K_2} = 0,
com
P_1^{sat}(T)=\exp\!\left(A_1-\frac{B_1}{T+C_1}\right),\qquad P_2^{sat}(T)=\exp\!\left(A_2-\frac{B_2}{T+C_2}\right).
Método numérico (explicando a lógica): como f(T) é contínua e monótona típica para esse tipo de expressão, podemos usar o método da bissecção ou tentativas sucessivas (iteração). Vou fazer uma varredura simples para achar um intervalo em que f(T) muda de sinal e depois interpolar.
Testes rápidos (valores de referência, mostrar como avaliar):
  • Para T=360\\ \mathrm{K} (teste):
    • T + C_1 = 319{,}838, então \ln P_1^{sat} \approx 9{,}52214 - 2869{,}781/319{,}838 \approx 0{,}550 e P_1^{sat}\approx 1{,}73\\ \mathrm{bar}.
    • T + C_2 = 303{,}801, então \ln P_2^{sat}\approx 9{,}27555 - 2921{,}142/303{,}801 \approx -0{,}341 e P_2^{sat}\approx 0{,}71\\ \mathrm{bar}.
    • Então P_1^{sat}/K_1 \approx 1{,}73/2{,}275 \approx 0{,}76 e P_2^{sat}/K_2 \approx 0{,}71/0{,}967 \approx 0{,}73. Assim f(360)\approx +0{,}03.
  • Para T=372\\ \mathrm{K} (teste):
    • Fazendo os mesmos cálculos (usar a Antoine dada) obtém-se P_1^{sat}\approx 2{,}40\\ \mathrm{bar} e P_2^{sat}\approx 1{,}02\\ \mathrm{bar}.
    • Então P_1^{sat}/K_1 \approx 2{,}40/2{,}275 \approx 1{,}05 e P_2^{sat}/K_2 \approx 1{,}02/0{,}967 \approx 1{,}05. Assim f(372) muda de sinal em relação a valores menores (aprox. pequeno negativo).
Como f(360)>0 e f(372)\lesssim 0, há uma raiz entre esses valores. Refinando por iteração (bissecção/interpolação rápida) encontra-se a raiz aproximada em torno de
T \approx 371{,}0\\ \mathrm{K}.
(Observação didática: para uma prova, você pode aplicar bissecção com 2–4 iterações até obter precisão razoável; aqui apresentei a varredura e o refinamento para evitar cálculos excessivamente longos.)

Passo 5

Cálculo da pressão total P usando a relação P = P_1^{sat}(T)/K_1 (ou a partir de qualquer componente):
Com T\approx 371{,}0\\ \mathrm{K},
  • calcule \ln P_1^{sat} = A_1 - \dfrac{B_1}{T+C_1} e exponencie para obter P_1^{sat}. Usando os números: T + C_1 = 371{,}0 - 40{,}162 = 330{,}838,
\ln P_1^{sat}\approx 9{,}52214 - \frac{2869{,}781}{330{,}838}\approx 0{,}85\quad\Rightarrow\quad P_1^{sat}\approx 2{,}33\\ \mathrm{bar}.
Logo
P \approx \frac{2{,}33}{2{,}275} \approx 1{,}02\\ \mathrm{bar}.
Verificação (consistência com o componente 2 e 3):
  • Para i=2, com T\approx 371{,}0\\ \mathrm{K} obtemos P_2^{sat}\approx 0{,}99\\ \mathrm{bar} e P_2^{sat}/K_2\approx 0{,}99/0{,}967\approx 1{,}02\\ \mathrm{bar} (próximo do valor anterior).
  • Para i=3, P_3^{sat} calculado na mesma T P_3^{sat}/K_3 também muito próximo de 1{,}02\\ \mathrm{bar}.
Isso confirma coerência e torna aceitáveis os valores:
T \approx 371{,}0\\ \mathrm{K},\qquad P \approx 1{,}02\\ \mathrm{bar}.

Passo 6

Sobre as quantidades de vapor e líquido formadas (explicação didática):
  • Para determinar as frações de vapor \varphi \equiv V/F e líquido 1-\varphi resultantes de um flash é preciso conhecer a composição global do alimentador z_i (as frações molares totais antes do equilíbrio) e a quantidade total F se quiser quantidades absolutas. O balanço de massa para cada componente dá:
z_i = (1-\varphi)\,x_i + \varphi\,y_i.
Rearranjando para \varphi (lever rule/Rachford–Rice simples) obtemos, para qualquer componente i tal que y_i\neq x_i,
\varphi = \frac{z_i - x_i}{y_i - x_i}.
  • Note que todas as equações para diferentes i devem fornecer o mesmo \varphi (consistência de balanço) se z_i for o mesmo para todos. Sem z_i não há como calcular \varphi nem as quantidades V e L absolutas.
Conclusão prática: com os dados do enunciado (somente x_i e y_i) podemos determinar T e P, mas NÃO podemos determinar as quantidades de vapor e líquido formadas sem que seja fornecida a composição global z_i (ou a fração de vapor diretamente).

Resposta

T \approx 371{,}0\\ \mathrm{K}
P \approx 1{,}02\\ \mathrm{bar}
Não é possível determinar as quantidades de vapor e de líquido formadas porque a composição global do alimentador z_i (ou a quantidade total F) não foi fornecida.

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