• Como a formulação de Kelvin (“não é possível transformar todo o calor em trabalho”) se traduz matematicamente nas equações do ciclo de Carnot?
  • Por que é necessário que existam duas fontes de calor, uma quente ( T_{1} ) e outra fria \left(T_{2}\right), para que uma máquina opere?
  • O que impede que o rendimento \eta=1-T_{2} / T_{1} seja igual a 1 ?
  • Deduzir a expressão do rendimento de Carnot, partindo de Q_{1}=T_{1} \Delta S e Q_{2}=-T_{2} \Delta S, mostrando que \eta=W / Q_{1}=1-T_{2} / T_{1}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas relacionadas ao ciclo de Carnot e à formulação de Kelvin:
  1. Explicar como a formulação de Kelvin — “não é possível transformar todo o calor em trabalho” — se traduz matematicamente nas equações do ciclo de Carnot.
  2. Explicar por que é necessário ter duas fontes de calor, uma quente \left(T_{1}\right) e outra fria \left(T_{2}\right), para que uma máquina térmica opere.
  3. Explicar o que impede que o rendimento \eta=1-T_{2}/T_{1} seja igual a 1.
  4. Deduzir a expressão do rendimento de Carnot a partir das relações dadas Q_{1}=T_{1}\Delta S e Q_{2}=-T_{2}\Delta S, mostrando que \eta=W/Q_{1}=1-T_{2}/T_{1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As trocas de calor no ciclo são dadas por Q_{1}=T_{1}\Delta S e Q_{2}=-T_{2}\Delta S.
  • A máquina faz um ciclo (volta ao estado inicial), então a variação de energia interna do sistema sobre um ciclo é zero e o trabalho líquido W é igual ao calor líquido recebido.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar uma desigualdade central que traduz a segunda lei da termodinâmica de forma matemática: a desigualdade de Clausius. Ela diz, para qualquer processo cíclico,
\oint \frac{dQ}{T} \le 0.
Explicando devagar: dQ é um pequeno fluxo de calor trocado com uma reservatório à temperatura T e \oint indica a soma (integral) sobre todo o ciclo. A desigualdade significa que, somando-se os quocientes dQ/T de todas as trocas de calor do ciclo, obtemos um número não positivo; a igualdade vale apenas se o ciclo for inteiramente reversível (sem produção de entropia).
Por que isso é útil? Porque a formulação de Kelvin (“não existe máquina cíclica que, operando num único reservatório, converta todo o calor recebido em trabalho”) é uma maneira verbal da mesma proibição matemática expressa pela desigualdade de Clausius. Vamos transformar isso em equações concretas no próximo passo.

Passo 3

Aplicando a desigualdade de Clausius a um ciclo que troca calor apenas com dois reservatórios (um à temperatura \,T_{1}\, e outro à temperatura \,T_{2}\,), as trocas discretas podem ser somadas como
\frac{Q_{1}}{T_{1}}+\frac{Q_{2}}{T_{2}} \le 0.
Aqui usei a versão discreta porque tipicamente uma máquina térmica idealiza apenas duas trocas principais: Q_{1} absorvido do quente e Q_{2} rejeitado para o frio. Essa é a tradução matemática do controle de entropia total do ciclo: a soma das entropias trocadas com os reservatórios não pode ser positiva. Para um ciclo reversível (caso ideal, como o ciclo de Carnot) temos igualdade:
\frac{Q_{1}}{T_{1}}+\frac{Q_{2}}{T_{2}} = 0.
Esta última equação é exatamente a forma que o ciclo de Carnot satisfaz — e é a expressão matemática que captura a ideia de Kelvin: não se pode ter apenas Q_{1}>0 e nenhum Q_{2} de modo a violar essa igualdade/desigualdade.

Passo 4

Agora uso a conservação de energia (primeira lei) para um ciclo: a variação de energia interna sobre um ciclo é zero, então o trabalho líquido feito pelo motor W é o calor líquido recebido:
W = Q_{1} + Q_{2}.
Esse é um passo simples mas importante: se o sistema retorna ao mesmo estado, toda energia que saiu em forma de trabalho veio do calor recebido; portanto o trabalho é a soma algébrica dos Q's (atenção ao sinal: Q_{1} é calor recebido, Q_{2} normalmente é negativo se for calor cedido pelo sistema — eu vou manter a notação fornecida).

Passo 5

Agora interpretamos as fórmulas fornecidas Q_{1}=T_{1}\Delta S e Q_{2}=-T_{2}\Delta S. O que isso significa e por que é razoável?
  • Em processos isotermais reversíveis (como nas duas etapas isotermais do ciclo de Carnot) a variação de entropia do sistema é \Delta S = Q_{\text{rev}}/T. Para a etapa em contato com o reservatório quente, Q_{1}=T_{1}\Delta S. Para a etapa em contato com o reservatório frio, a variação de entropia do sistema tem sinal oposto, daí Q_{2}=-T_{2}\Delta S. Em suma: o módulo da entropia trocada em cada isoterma é o mesmo (porque o ciclo é reversível) e tem sinais opostos.
  • Dá para ver que essas expressões satisfazem a igualdade de Clausius para o ciclo: \dfrac{Q_{1}}{T_{1}}+\dfrac{Q_{2}}{T_{2}}=\Delta S+\left(-\Delta S\right)=0.

Passo 6

Deduzo o trabalho W usando as expressões dos Q's. Substituindo em W=Q_{1}+Q_{2}:
W = T_{1}\Delta S + \bigl(-T_{2}\Delta S\bigr) = \Delta S\,(T_{1}-T_{2}).
Explicando: factoring \Delta S é natural porque a mesma variação de entropia aparece nas duas trocas reversíveis. Esse W é o trabalho produzido no ciclo por unidade de \Delta S.
Agora calculo o rendimento \eta, definido como trabalho útil dividido pelo calor absorvido da fonte quente:
\eta = \frac{W}{Q_{1}} = \frac{\Delta S\,(T_{1}-T_{2})}{T_{1}\Delta S}.
As \Delta S cancelam, restando
\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}.
Pronto: essa é a dedução pedida, feita passo a passo e mostrando o cancelamento da entropia. Note que este resultado vale para o ciclo reversível ideal de Carnot; é o limite máximo de eficiência entre dois reservatórios nas temperaturas dadas.

Passo 7

Agora respondo por que precisamos de duas fontes de calor e por que \eta não pode ser 1.
  1. Por que duas fontes? Se só houvesse um único reservatório à temperatura \,T_{1}\, e tentássemos extrair calor Q_{1}>0 e converter tudo em trabalho (ou seja, sem rejeitar calor para outro reservatório), então não haveria Q_{2} e a soma na desigualdade de Clausius seria
\frac{Q_{1}}{T_{1}} \le 0,
o que é impossível para Q_{1}>0. Em palavras: a segunda lei (via Clausius) proíbe um ciclo cujo único efeito seja retirar calor de um reservatório e transformá-lo integralmente em trabalho. Para que um ciclo gere trabalho mantendo-se cíclico, parte do calor absorvido deve ser rejeitado a uma temperatura menor — é essa diferença de temperaturas que possibilita fluxo de calor e produção de trabalho. Assim, economicamente falando, o calor “desce” do quente para o frio e uma parte dessa queda de energia térmica é convertida em trabalho; sem o reservatório frio não há “queda” controlada e reversível de energia térmica que gere trabalho sem violar a segunda lei.
  1. Por que \eta=1-T_{2}/T_{1} não pode ser igual a 1? Para que \eta=1 precisaríamos que T_{2}=0 (pois \eta=1-\dfrac{T_{2}}{T_{1}}). Ou seja, a única maneira matemática de chegar a 100\% de eficiência seria ter o reservatório frio na temperatura 0 K. Mas o zero absoluto é inatingível na prática (terceira lei da termodinâmica) e, mesmo teoricamente, uma máquina que rejeitasse zero calor violaria a desigualdade de Clausius (ver item anterior). Portanto não se consegue \eta=1 com reservatórios a temperaturas finitas e positivas; sempre haverá T_{2}>0, logo T_{2}/T_{1}>0 e \eta<1.

Passo 8

Faço uma pequena síntese que liga tudo: a formulação de Kelvin se traduz matematicamente pela desigualdade de Clausius aplicada a ciclos; para um ciclo entre duas temperaturas a igualdade reversível dá \dfrac{Q_{1}}{T_{1}}+\dfrac{Q_{2}}{T_{2}}=0, que combinada com a primeira lei ( W=Q_{1}+Q_{2}) e com as expressões Q_{1}=T_{1}\Delta S, Q_{2}=-T_{2}\Delta S leva direto a \eta=1-T_{2}/T_{1}. A existência da fonte fria é necessária para que haja rejeição de calor e respeito à segunda lei; \eta só seria igual a 1 se a fonte fria estivesse a 0 K (impossível), ou se violássemos a segunda lei.

Resposta

A formulação de Kelvin traduz-se matematicamente pela desigualdade de Clausius aplicada ao ciclo:
\dfrac{Q_{1}}{T_{1}}+\dfrac{Q_{2}}{T_{2}}\le 0, com igualdade para o ciclo de Carnot reversível.
É necessário ter duas fontes ( T_{1} quente e T_{2} fria) porque, para extrair trabalho num ciclo sem violar a segunda lei, parte do calor absorvido deve ser rejeitada a uma temperatura menor; sem o reservatório frio a desigualdade de Clausius seria violada.
O rendimento \eta=1-\dfrac{T_{2}}{T_{1}} não pode ser 1 porque isso exigiria T_{2}=0 (zero absoluto) ou violação da segunda lei; com temperaturas finitas positivas sempre 0<\dfrac{T_{2}}{T_{1}}<1, logo \eta<1.
Dedução do rendimento a partir de Q_{1}=T_{1}\Delta S e Q_{2}=-T_{2}\Delta S:
W=Q_{1}+Q_{2}=T_{1}\Delta S-T_{2}\Delta S=\Delta S\,(T_{1}-T_{2}),
\eta=\frac{W}{Q_{1}}=\frac{\Delta S\,(T_{1}-T_{2})}{T_{1}\Delta S}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}.

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