- Como a formulação de Kelvin (“não é possível transformar todo o calor em trabalho”) se traduz matematicamente nas equações do ciclo de Carnot?
- Por que é necessário que existam duas fontes de calor, uma quente (
) e outra fria
, para que uma máquina opere?
- O que impede que o rendimento
seja igual a 1 ?
- Deduzir a expressão do rendimento de Carnot, partindo de
e
, mostrando que
.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas relacionadas ao ciclo de Carnot e à formulação de Kelvin:
- Explicar como a formulação de Kelvin — “não é possível transformar todo o calor em trabalho” — se traduz matematicamente nas equações do ciclo de Carnot.
- Explicar por que é necessário ter duas fontes de calor, uma quente
e outra fria , para que uma máquina térmica opere. - Explicar o que impede que o rendimento
seja igual a . - Deduzir a expressão do rendimento de Carnot a partir das relações dadas
e , mostrando que .
Informações relevantes fornecidas:
- As trocas de calor no ciclo são dadas por
e . - A máquina faz um ciclo (volta ao estado inicial), então a variação de energia interna do sistema sobre um ciclo é zero e o trabalho líquido
é igual ao calor líquido recebido.
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar uma desigualdade central que traduz a segunda lei da termodinâmica de forma matemática: a desigualdade de Clausius. Ela diz, para qualquer processo cíclico,
Explicando devagar:
é um pequeno fluxo de calor trocado com uma reservatório à temperatura
e
indica a soma (integral) sobre todo o ciclo. A desigualdade significa que, somando-se os quocientes
de todas as trocas de calor do ciclo, obtemos um número não positivo; a igualdade vale apenas se o ciclo for inteiramente reversível (sem produção de entropia).
Por que isso é útil? Porque a formulação de Kelvin (“não existe máquina cíclica que, operando num único reservatório, converta todo o calor recebido em trabalho”) é uma maneira verbal da mesma proibição matemática expressa pela desigualdade de Clausius. Vamos transformar isso em equações concretas no próximo passo.
Passo 3
Aplicando a desigualdade de Clausius a um ciclo que troca calor apenas com dois reservatórios (um à temperatura
e outro à temperatura
), as trocas discretas podem ser somadas como
Aqui usei a versão discreta porque tipicamente uma máquina térmica idealiza apenas duas trocas principais:
absorvido do quente e
rejeitado para o frio. Essa é a tradução matemática do controle de entropia total do ciclo: a soma das entropias trocadas com os reservatórios não pode ser positiva. Para um ciclo reversível (caso ideal, como o ciclo de Carnot) temos igualdade:
Esta última equação é exatamente a forma que o ciclo de Carnot satisfaz — e é a expressão matemática que captura a ideia de Kelvin: não se pode ter apenas
e nenhum
de modo a violar essa igualdade/desigualdade.
Passo 4
Agora uso a conservação de energia (primeira lei) para um ciclo: a variação de energia interna sobre um ciclo é zero, então o trabalho líquido feito pelo motor
é o calor líquido recebido:
Esse é um passo simples mas importante: se o sistema retorna ao mesmo estado, toda energia que saiu em forma de trabalho veio do calor recebido; portanto o trabalho é a soma algébrica dos
's (atenção ao sinal:
é calor recebido,
normalmente é negativo se for calor cedido pelo sistema — eu vou manter a notação fornecida).
Passo 5
Agora interpretamos as fórmulas fornecidas
e
. O que isso significa e por que é razoável?
- Em processos isotermais reversíveis (como nas duas etapas isotermais do ciclo de Carnot) a variação de entropia do sistema é
. Para a etapa em contato com o reservatório quente, . Para a etapa em contato com o reservatório frio, a variação de entropia do sistema tem sinal oposto, daí . Em suma: o módulo da entropia trocada em cada isoterma é o mesmo (porque o ciclo é reversível) e tem sinais opostos. - Dá para ver que essas expressões satisfazem a igualdade de Clausius para o ciclo:
.
Passo 6
Deduzo o trabalho
usando as expressões dos
's. Substituindo em
:
Explicando: factoring
é natural porque a mesma variação de entropia aparece nas duas trocas reversíveis. Esse
é o trabalho produzido no ciclo por unidade de
.
Agora calculo o rendimento
, definido como trabalho útil dividido pelo calor absorvido da fonte quente:
As
cancelam, restando
Pronto: essa é a dedução pedida, feita passo a passo e mostrando o cancelamento da entropia. Note que este resultado vale para o ciclo reversível ideal de Carnot; é o limite máximo de eficiência entre dois reservatórios nas temperaturas dadas.
Passo 7
Agora respondo por que precisamos de duas fontes de calor e por que
não pode ser
.
- Por que duas fontes? Se só houvesse um único reservatório à temperatura
e tentássemos extrair calor e converter tudo em trabalho (ou seja, sem rejeitar calor para outro reservatório), então não haveria e a soma na desigualdade de Clausius seria
o que é impossível para
. Em palavras: a segunda lei (via Clausius) proíbe um ciclo cujo único efeito seja retirar calor de um reservatório e transformá-lo integralmente em trabalho. Para que um ciclo gere trabalho mantendo-se cíclico, parte do calor absorvido deve ser rejeitado a uma temperatura menor — é essa diferença de temperaturas que possibilita fluxo de calor e produção de trabalho. Assim, economicamente falando, o calor “desce” do quente para o frio e uma parte dessa queda de energia térmica é convertida em trabalho; sem o reservatório frio não há “queda” controlada e reversível de energia térmica que gere trabalho sem violar a segunda lei.
- Por que
não pode ser igual a ? Para que precisaríamos que (pois ). Ou seja, a única maneira matemática de chegar a de eficiência seria ter o reservatório frio na temperatura K. Mas o zero absoluto é inatingível na prática (terceira lei da termodinâmica) e, mesmo teoricamente, uma máquina que rejeitasse zero calor violaria a desigualdade de Clausius (ver item anterior). Portanto não se consegue com reservatórios a temperaturas finitas e positivas; sempre haverá , logo e .
Passo 8
Faço uma pequena síntese que liga tudo: a formulação de Kelvin se traduz matematicamente pela desigualdade de Clausius aplicada a ciclos; para um ciclo entre duas temperaturas a igualdade reversível dá
, que combinada com a primeira lei (
) e com as expressões
,
leva direto a
. A existência da fonte fria é necessária para que haja rejeição de calor e respeito à segunda lei;
só seria igual a
se a fonte fria estivesse a
K (impossível), ou se violássemos a segunda lei.
Resposta
A formulação de Kelvin traduz-se matematicamente pela desigualdade de Clausius aplicada ao ciclo:
, com igualdade para o ciclo de Carnot reversível.
É necessário ter duas fontes (
quente e
fria) porque, para extrair trabalho num ciclo sem violar a segunda lei, parte do calor absorvido deve ser rejeitada a uma temperatura menor; sem o reservatório frio a desigualdade de Clausius seria violada.
O rendimento
não pode ser
porque isso exigiria
(zero absoluto) ou violação da segunda lei; com temperaturas finitas positivas sempre
, logo
.
Dedução do rendimento a partir de
e
: