1-FORMULAR A LEI DE CONDUÇÃO DE CALOR PARA O CASO DE UMA PAREDE PLANA ASSUMIDA PELO MÉTODO DA RESISTÊNCIA E GENERALIZAR OS RESULTADOS PARA OUTROS TIPOS DE PAREDES, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS.

Passo 1

O enunciado pede para formular, usando o método de resistências térmicas, a lei da condução de calor em regime estacionário unidimensional para uma parede plana e depois generalizar para paredes cilíndricas e esféricas. O conteúdo envolve a Lei de Fourier, integração da equação de condução e definição de resistências térmicas equivalentes.

Passo 2

Para uma parede plana de espessura L, área transversal A e condutividade térmica constante k, a Lei de Fourier em regime estacionário é
\dot Q = -\,k\,A\,\frac{dT}{dx}.
Como não há geração interna e k e A são constantes, integra-se de x=0 (temperatura T_1) até x=L (temperatura T_2):
\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{\dot Q}{kA}\int_{0}^{L} dx \quad\Longrightarrow\quad T_2 - T_1 = -\frac{\dot Q\,L}{kA}.
Reorganizando:
\dot Q = \frac{T_1 - T_2}{L/(kA)}.
Definimos a resistência térmica da parede plana como
R_{\text{plana}} = \frac{L}{kA},
resultando na forma análoga à Lei de Ohm:
\dot Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{plana}}}.

Passo 3

Se houver camadas em série, basta somar as resistências:
R_{\rm total} = \sum_i R_i, \qquad \dot Q = \frac{T_{\rm quente} - T_{\rm fria}}{R_{\rm total}}.

Passo 4

Para condução radial em uma parede cilíndrica de comprimento L, condutividade k e raios interno e externo r_1 e r_2, a área de seção é A(r)=2\pi L\,r. A Lei de Fourier radial dá
\dot Q = -\,k\,2\pi L\,r\,\frac{dT}{dr}.
Integramos de r_1 a r_2:
\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r} \quad\Longrightarrow\quad T_2 - T_1 = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\ln\!\bigl(r_2/r_1\bigr).
Logo
\dot Q = \frac{T_1 - T_2}{\displaystyle \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}},
e a resistência cilíndrica é
R_{\text{cil}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}.

Passo 5

Para condução radial em uma parede esférica de condutividade k e raios interno e externo r_1 e r_2, a área é A(r)=4\pi r^2. A Lei de Fourier radial leva a
\dot Q = -\,k\,4\pi r^2\,\frac{dT}{dr},
e ao integrar de r_1 a r_2:
T_2 - T_1 = -\frac{\dot Q}{4\pi k}\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2} = -\frac{\dot Q}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\Bigr).
Reescrevendo:
\dot Q = \frac{T_1 - T_2}{\displaystyle \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr)},
e a resistência esférica é
R_{\text{sph}} = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr).

Resposta

Lei geral da condução por método de resistência térmica:
\dot Q = \frac{\Delta T}{R},
onde
R_{\text{plana}} = \frac{L}{kA}, \quad R_{\text{cil}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}, \quad R_{\text{sph}} = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr).

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