7-PARANDO DA EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO EM ESTADO ESTÁVEL, DEDUÇA A EQUAÇÃO PARA O CASO DE PAREDES PLANAS

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da equação geral de condução em estado estacionário, a gente deduza a fórmula da distribuição de temperatura numa parede plana. O conteúdo é condução de calor unidimensional em regime permanente, e vamos precisar da forma geral da conservação de energia em meios contínuos e de resolver uma equação diferencial de segunda ordem assumindo condutividade térmica k constante.

Passo 2

A equação geral de condução de calor, incluindo geração volumétrica \dot{q}''', no regime não estacionário é
\rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} \;=\;\nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr)\;+\;\dot{q}'''
Em regime permanente ( \partial T/\partial t=0) isso vira
\nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr)\;+\;\dot{q}''' = 0

Passo 3

Para uma parede plana de espessura L, estendendo-se infinitamente nas outras direções, a temperatura varia só em x. Com k constante, a equação vetorial reduz a
\frac{d}{dx}\!\bigl(k\,\frac{dT}{dx}\bigr)\;+\;\dot{q}'''=0 \quad\Longrightarrow\quad k\,\frac{d^2T}{dx^2}+\dot{q}'''=0

Passo 4

Integramos uma vez em x:
k\,\frac{dT}{dx} \;=\; -\,\dot{q}'''\,x + C_{1}
e integramos de novo para obter T(x):
T(x) \;=\; -\,\frac{\dot{q}'''}{2\,k}\,x^{2} \;+\;\frac{C_{1}}{k}\,x \;+\;C_{2}

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno de temperatura prescrita nas faces da parede:
T(0)=T_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=T_{1},
T(L)=T_{2} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{\dot{q}'''}{2\,k}\,L^{2} +\;\frac{C_{1}}{k}\,L +\;T_{1} =T_{2}.
Dessarte
\frac{C_{1}}{k} =\;\frac{T_{2}-T_{1}}{L} \;+\;\frac{\dot{q}'''}{2\,k}\,L.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} na expressão geral, chega-se à distribuição de temperatura
T(x) =\;T_{1} \;+\;\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\;x \;+\;\frac{\dot{q}'''}{2\,k}\,\bigl(L\,x - x^{2}\bigr).

Resposta

T(x) =\;T_{1} \;+\;\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x \;+\;\frac{\dot{q}'''}{2\,k}\,\bigl(L\,x - x^{2}\bigr).

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