(Garrod, modificado) Um gás contém uma fração x de um isótopo A e uma fração 1-x de um isótopo B.
(a) Qual é a probabilidade de que n partículas, escolhidas ao acaso, contenham ao menos uma partícula do isótopo B ?
(b) Qual é a probabilidade de que n partículas, escolhidas ao acaso, contenham ao menos duas partículas do isótopo B ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Há um gás com fração x do isótopo A e fração 1-x do isótopo B.
  • Escolhem-se n partículas ao acaso (assuma que cada escolha é independente, equivalente a retirar com reposição ou do gás muito grande).
  • Perguntas:
    (a) Qual é a probabilidade de que as n partículas contenham ao menos uma partícula do isótopo B?
    (b) Qual é a probabilidade de que as n partículas contenham ao menos duas partículas do isótopo B?

Passo 2

Entendendo o experimento e a hipótese de modelo (isto é importante para aplicar fórmulas corretamente):
  • Cada partícula escolhida tem probabilidade de ser A igual a x e de ser B igual a 1-x. Vou denotar p_B = 1-x.
  • As escolhas são independentes, então probabilidades de resultados combinados multiplicam-se.
  • Defino a variável aleatória K = número de partículas B nas n escolhas. Sob as hipóteses acima, K segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p_B. Mais adiante explico essa distribuição.

Passo 3

Resolver (a) usando a regra do complemento (ideia: "ao menos uma B" é o complementar de "nenhuma B"):
  • Evento "nenhuma B" significa que todas as n partículas são A. Como cada escolha é A com probabilidade x e independente das outras, a probabilidade de todas serem A é
\Pr(\text{0 partículas }B)=x^n.í
  • Portanto, a probabilidade de "ao menos uma B" é o complemento:
\Pr(\text{ao menos 1 }B)=1-\Pr(\text{0 }B)=1-x^n.
Essa é a resposta para (a).

Passo 4

Agora preparar o terreno para (b): explicação didática da distribuição binomial e do termo "exatamente k":
  • A distribuição binomial descreve K, o número de sucessos (aqui: sucessos = partículas B) em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p_B de sucesso.
  • A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos é
\Pr(K=k)=\binom{n}{k}\,p_B^{\,k}\,(1-p_B)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas diferentes se pode escolher quais k das n posições são os sucessos. A definição do coeficiente é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
mas aqui não é necessário calcular fatoriais, apenas entender que \binom{n}{k} é o número de escolhas de k posições entre n.
  • No nosso problema p_B=1-x e 1-p_B=x.

Passo 5

Calcular (b): "ao menos duas partículas B" é o complementar dos eventos "0 B" e "1 B". Portanto
\Pr(\text{ao menos 2 }B)=1-\Pr(K=0)-\Pr(K=1).
Calcular cada termo:
  • Já temos
\Pr(K=0)=x^n.
  • Para exatamente uma B usamos a fórmula binomial com k=1:
\Pr(K=1)=\binom{n}{1}(1-x)^{1}x^{n-1}.
Como \binom{n}{1}=n, isso fica
\Pr(K=1)=n(1-x)x^{\,n-1}.
  • Substituindo na expressão do complementar:
\Pr(\text{ao menos 2 }B)=1-x^n-n(1-x)x^{\,n-1}.

Passo 6

Exemplo numérico curta para fixar (opcional, veja como usar as fórmulas na prova):
  • Se x=0,7 (70% A) e n=3:
    • p_B=1-x=0,3.
    • (a) 1-x^n=1-0,7^3=1-0,343=0,657 — probabilidade de ao menos um B.
    • (b) 1-x^n-n(1-x)x^{n-1}=1-0,343-3\cdot0,3\cdot0,7^2=1-0,343-3\cdot0,3\cdot0,49=1-0,343-0,441=0,216 — probabilidade de ao menos dois B.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (rápidas e práticas):
  • Para “ao menos um”, use sempre o complemento 1-\Pr(0) — é o jeito mais rápido.
  • Para "ao menos m" com m pequeno, subtraia as probabilidades de 0,1,\dots,m-1 dadas pela binomial.
  • Memorize \Pr(K=k)=\binom{n}{k}(1-x)^k x^{n-k} para aplicar rapidamente.

Resposta

1-x^n
1-x^n-n(1-x)x^{\,n-1}

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