(Garrod, modificado) Um gás contém uma fração
de um isótopo
e uma fração
de um isótopo
.
(a) Qual é a probabilidade de que
partículas, escolhidas ao acaso, contenham ao menos uma partícula do isótopo
?
(b) Qual é a probabilidade de que
partículas, escolhidas ao acaso, contenham ao menos duas partículas do isótopo
?
(a) Qual é a probabilidade de que
(b) Qual é a probabilidade de que
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Há um gás com fração
do isótopo e fração do isótopo . - Escolhem-se
partículas ao acaso (assuma que cada escolha é independente, equivalente a retirar com reposição ou do gás muito grande). - Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de que aspartículas contenham ao menos uma partícula do isótopo ?
(b) Qual é a probabilidade de que aspartículas contenham ao menos duas partículas do isótopo ?
Passo 2
Entendendo o experimento e a hipótese de modelo (isto é importante para aplicar fórmulas corretamente):
- Cada partícula escolhida tem probabilidade de ser
igual a e de ser igual a . Vou denotar . - As escolhas são independentes, então probabilidades de resultados combinados multiplicam-se.
- Defino a variável aleatória
= número de partículas nas escolhas. Sob as hipóteses acima, segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Mais adiante explico essa distribuição.
Passo 3
Resolver (a) usando a regra do complemento (ideia: "ao menos uma
" é o complementar de "nenhuma
"):
- Evento "nenhuma
" significa que todas as partículas são . Como cada escolha é com probabilidade e independente das outras, a probabilidade de todas serem é
- Portanto, a probabilidade de "ao menos uma
" é o complemento:
Essa é a resposta para (a).
Passo 4
Agora preparar o terreno para (b): explicação didática da distribuição binomial e do termo "exatamente
":
- A distribuição binomial descreve
, o número de sucessos (aqui: sucessos = partículas ) em tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso. - A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos é
onde
é o coeficiente binomial que conta de quantas formas diferentes se pode escolher quais
das
posições são os sucessos. A definição do coeficiente é
mas aqui não é necessário calcular fatoriais, apenas entender que
é o número de escolhas de
posições entre
.
- No nosso problema
e .
Passo 5
Calcular (b): "ao menos duas partículas
" é o complementar dos eventos "0
" e "1
". Portanto
Calcular cada termo:
- Já temos
- Para exatamente uma
usamos a fórmula binomial com :
Como
, isso fica
- Substituindo na expressão do complementar:
Passo 6
Exemplo numérico curta para fixar (opcional, veja como usar as fórmulas na prova):
- Se
(70% ) e : -
. - (a)
— probabilidade de ao menos um . - (b)
— probabilidade de ao menos dois .
-
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (rápidas e práticas):
- Para “ao menos um”, use sempre o complemento
— é o jeito mais rápido. - Para "ao menos
" com pequeno, subtraia as probabilidades de dadas pela binomial. - Memorize
para aplicar rapidamente.