(Garrod, modificado) Uma partícula estava inicialmente em
e pode se mover apenas ao longo do eixo
. A cada segundo, ela dá um salto cuja distribuição de probabilidades é
, com
. Suponha que
e que
, sendo
uma constante finita. Utilize o teorema central do limite e seus conhecimentos sobre distribuições de funções de variáveis aleatórias para determinar a distribuição de probabilidades da posição dessa partícula depois de um longo tempo.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula que se move só ao longo do eixo
, partindo de
. A cada segundo ela faz um salto independente
com densidade de probabilidade
, onde:
-
para todo (ou seja, a distribuição dos saltos é simétrica); -
com finito (ou seja, a variância do salto é ); - os saltos em instantes diferentes são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) — inferido pelo enunciado típico desse tipo de problema.
O que é pedido:
- Determinar a distribuição de probabilidade da posição da partícula depois de um longo tempo (isto é, após muitos saltos).
Passo 2
Modelagem matemática básica (o que vamos somar).
- Seja
os saltos dos primeiros segundos; cada tem densidade . - A posição após
segundos é a soma
- Pela simetria
temos a esperança do salto igual a zero:
- A variância de um salto é dada no enunciado:
- Como os saltos são independentes, a esperança e variância da soma são
Isto já nos diz que a largura (dispersão) da posição cresce proporcionalmente a
.
Passo 3
Enunciado do Teorema Central do Limite (na prática).
- O Teorema Central do Limite (TCL) diz, em palavras simples: se somamos muitas variáveis aleatórias i.i.d. com média finita
e variância finita , a distribuição da soma (adequadamente normalizada) aproxima-se de uma Gaussiana quando o número de termos é grande. - Em fórmulas: para
,
onde
é a Normal padrão.
- No nosso caso
e . Portanto o TCL nos diz heurística e quantitativamente que, para grande, é aproximadamente normal com média e variância .
Passo 4
Forma explícita da densidade aproximada (usar o TCL para escrever a pdf).
- A densidade aproximada de
para grande é a densidade normal com média e variância . Escrevendo isso:
- Interpretação: para muitos saltos a forma da distribuição fica gaussianamente burilada, mesmo que a distribuição original
seja qualquer coisa simétrica (desde que a variância seja finita).
Passo 5
Breve demonstração alternativa (usando funções características) — útil para prova.
- Defina a função característica do salto:
- A função característica da soma
é
pela independência.
- Expandindo
para pequeno (usando e ):
- Então
quando
grande (para os
relevantes do inverso de Fourier). A transformada inversa dessa função característica gaussiana dá exatamente a densidade normal escrita no Passo 4. Isso é a versão técnica do TCL usando características.
Passo 6
Como usar essa aproximação na prova (truques práticos).
- Se precisarem de uma probabilidade como
para grande, aproximar por integrar a Gaussiana:
ou usar a normal padrão com mudança de variável
.
- Exemplo simples: probabilidade da partícula estar dentro de uma janela proporcional a
(padrão de difusão):
onde
é a função erro (padrão).
Passo 7
Conexão física rápida (intuição).
- O resultado significa que o passeio aleatório com saltos i.i.d. e variância
se comporta, em larga escala temporal, como uma difusão gaussiana cuja largura cresce como . - Se interpretar o tempo contínuo com passos a cada
, o coeficiente de difusão é
no sentido de que a densidade
satisfaz, no limite de muitas etapas, a equação de difusão
e a solução fundamental dessa equação é novamente a Gaussiana com variância
(aqui
).
Passo 8
Resumo final e incentivo
- Conclusão limpa: para tempo grande (muitos saltos) a distribuição da posição é aproximadamente normal centrada em zero, com variância que cresce linearmente com o número de saltos.
- Isso é bastante robusto: não importa a forma detalhada de
(desde que seja simétrica e tenha variância finita), o formato final é Gaussiano — é o poder do TCL. Você consegue usar isso direto na prova: identifique média e variância de um salto e aplique a fórmula da Gaussiana para a soma.
Resposta
onde
é o número de segundos (passos).