(Garrod, modificado) Uma partícula estava inicialmente em x=0 e pode se mover apenas ao longo do eixo x. A cada segundo, ela dá um salto cuja distribuição de probabilidades é P(a), com -\infty<a<\infty. Suponha que P(a)=P(-a) e que \left\langle a^{2}\right\rangle=\beta^{2}, sendo \beta uma constante finita. Utilize o teorema central do limite e seus conhecimentos sobre distribuições de funções de variáveis aleatórias para determinar a distribuição de probabilidades da posição dessa partícula depois de um longo tempo.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que se move só ao longo do eixo x, partindo de x=0. A cada segundo ela faz um salto independente a com densidade de probabilidade P(a), onde:
  • P(a)=P(-a) para todo a (ou seja, a distribuição dos saltos é simétrica);
  • \left\langle a^{2}\right\rangle=\beta^{2} com \beta finito (ou seja, a variância do salto é \beta^{2});
  • os saltos em instantes diferentes são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) — inferido pelo enunciado típico desse tipo de problema.
O que é pedido:
  • Determinar a distribuição de probabilidade da posição da partícula depois de um longo tempo (isto é, após muitos saltos).

Passo 2

Modelagem matemática básica (o que vamos somar).
  • Seja \{a_1,a_2,\dots,a_n\} os saltos dos primeiros n segundos; cada a_i tem densidade P(a).
  • A posição após n segundos é a soma
X_n = \sum_{i=1}^{n} a_i.
  • Pela simetria P(a)=P(-a) temos a esperança do salto igual a zero:
\mathbb{E}[a]=\int_{-\infty}^{\infty} a\,P(a)\,da = 0.
  • A variância de um salto é dada no enunciado:
\mathrm{Var}(a)=\mathbb{E}[a^{2}]-(\mathbb{E}[a])^{2}=\beta^{2}.
  • Como os saltos são independentes, a esperança e variância da soma são
\mathbb{E}[X_n] = n\mathbb{E}[a]=0, \qquad \mathrm{Var}(X_n)=n\,\mathrm{Var}(a)=n\beta^{2}.
Isto já nos diz que a largura (dispersão) da posição cresce proporcionalmente a n.

Passo 3

Enunciado do Teorema Central do Limite (na prática).
  • O Teorema Central do Limite (TCL) diz, em palavras simples: se somamos muitas variáveis aleatórias i.i.d. com média finita \mu e variância finita \sigma^{2}, a distribuição da soma (adequadamente normalizada) aproxima-se de uma Gaussiana quando o número de termos n é grande.
  • Em fórmulas: para S_n=\sum_{i=1}^n a_i,
\frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma} \xrightarrow{d} N(0,1)\quad (n\to\infty),
onde N(0,1) é a Normal padrão.
  • No nosso caso \mu=\mathbb{E}[a]=0 e \sigma^{2}=\beta^{2}. Portanto o TCL nos diz heurística e quantitativamente que, para n grande, X_n é aproximadamente normal com média 0 e variância n\beta^{2}.

Passo 4

Forma explícita da densidade aproximada (usar o TCL para escrever a pdf).
  • A densidade aproximada de X_n para n grande é a densidade normal com média 0 e variância n\beta^{2}. Escrevendo isso:
p_{X_n}(x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\,n\beta^{2}}}\,\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,n\beta^{2}}\right).
  • Interpretação: para muitos saltos a forma da distribuição fica gaussianamente burilada, mesmo que a distribuição original P(a) seja qualquer coisa simétrica (desde que a variância seja finita).

Passo 5

Breve demonstração alternativa (usando funções características) — útil para prova.
  • Defina a função característica do salto:
\varphi_a(k)=\mathbb{E}[e^{ik a}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik a} P(a)\,da.
  • A função característica da soma X_n é
\varphi_{X_n}(k) = \big(\varphi_a(k)\big)^n,
pela independência.
  • Expandindo \varphi_a(k) para k pequeno (usando \mathbb{E}[a]=0 e \mathbb{E}[a^2]=\beta^2):
\varphi_a(k)=1-\tfrac{1}{2}\beta^{2}k^{2}+o(k^{2})\quad (k\to0).
  • Então
\varphi_{X_n}(k)=\left(1-\tfrac{1}{2}\beta^{2}k^{2}+o(k^{2})\right)^n \approx \exp\!\left(-\tfrac{1}{2}n\beta^{2}k^{2}\right)
quando n grande (para os k relevantes do inverso de Fourier). A transformada inversa dessa função característica gaussiana dá exatamente a densidade normal escrita no Passo 4. Isso é a versão técnica do TCL usando características.

Passo 6

Como usar essa aproximação na prova (truques práticos).
  • Se precisarem de uma probabilidade como \mathbb{P}(X_n\in[a,b]) para n grande, aproximar por integrar a Gaussiana:
\mathbb{P}(a\le X_n\le b)\approx \int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi n\beta^{2}}}e^{-x^{2}/(2n\beta^{2})}\,dx,
ou usar a normal padrão com mudança de variável z=x/(\sqrt{n}\beta).
  • Exemplo simples: probabilidade da partícula estar dentro de uma janela proporcional a \sqrt{n} (padrão de difusão):
\mathbb{P}\big(|X_n|\le c\sqrt{n}\big)\approx \operatorname{erf}\!\left(\frac{c}{\sqrt{2}\,\beta}\right),
onde \operatorname{erf} é a função erro (padrão).

Passo 7

Conexão física rápida (intuição).
  • O resultado significa que o passeio aleatório com saltos i.i.d. e variância \beta^{2} se comporta, em larga escala temporal, como uma difusão gaussiana cuja largura cresce como \sqrt{n}.
  • Se interpretar o tempo contínuo com passos a cada \Delta t=1, o coeficiente de difusão é
D=\frac{\beta^{2}}{2}
no sentido de que a densidade p(x,t) satisfaz, no limite de muitas etapas, a equação de difusão
\frac{\partial p}{\partial t}=D\,\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}},
e a solução fundamental dessa equação é novamente a Gaussiana com variância 2Dt=n\beta^{2} (aqui t=n).

Passo 8

Resumo final e incentivo
  • Conclusão limpa: para tempo grande (muitos saltos) a distribuição da posição é aproximadamente normal centrada em zero, com variância que cresce linearmente com o número de saltos.
  • Isso é bastante robusto: não importa a forma detalhada de P(a) (desde que seja simétrica e tenha variância finita), o formato final é Gaussiano — é o poder do TCL. Você consegue usar isso direto na prova: identifique média e variância de um salto e aplique a fórmula da Gaussiana para a soma.

Resposta

p_{X_n}(x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\,n\beta^{2}}}\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\,n\beta^{2}}\right),
onde n é o número de segundos (passos).

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