(Sethna) Se a fusão nuclear no Sol fosse interrompida hoje, quanto tempo levaria para percebermos? Para estimar a resposta a essa pergunta, considere o seguinte. A maior parte da energia gerada pelo Sol provém de reações que ocorrem próximo
ao seu centro. Acredita-se que no terço externo do Sol o transporte de energia seja dominado por convecção, mas que nas camadas interiores (abaixo de um raio
de cerca de
) o processo dominante possa ser modelado como uma caminhada aleatória de fótons de raios X . (Um fóton é um pacote quantizado de energia, que pode ser visto caricaturalmente como uma partícula que se move com velocidade
, a velocidade da luz do vácuo; estamos ignorando o índice de refração do Sol.) Nesse modelo, a cada passo da caminhada o fóton percorre uma distância
uma direção aleatória no espaço.
(a) Estime quantos passos aleatórios um fóton que parte do centro do Sol precisa dar em média para alcançar o raio
em que a convecção se torna importante.
(b) Quantos anos um fóton levaria em média para chegar até lá?
ao seu centro. Acredita-se que no terço externo do Sol o transporte de energia seja dominado por convecção, mas que nas camadas interiores (abaixo de um raio
(a) Estime quantos passos aleatórios um fóton que parte do centro do Sol precisa dar em média para alcançar o raio
(b) Quantos anos um fóton levaria em média para chegar até lá?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Raio interior onde o transporte é por difusão (abaixo da zona convectiva):
. - Comprimento de passo médio do fóton:
. - O fóton se move entre colisões com velocidade aproximadamente
(velocidade da luz no vácuo).
As perguntas:
(a) Estimar o número médio de passos aleatóriosque um fóton precisa dar, partindo do centro, para alcançar o raio .
(b) Estimar quantos anos isso corresponderia (tempo médio até alcançar).
Passo 2
Modelo físico e fórmula-chave (aula rápida sobre caminhada aleatória).
- Em uma caminhada aleatória isotrópica em três dimensões, cada passo é um vetor aleatório com comprimento fixo
e direções independentes. Se são os vetores- passo, a posição após passos é . - O quadrado do deslocamento é
. Expandindo e usando que as direções são independentes e isotrópicas faz com que os termos cruzados tenham média zero, sobrando somente a soma das normas ao quadrado dos passos. - Resultado padrão (fórmula usada com frequência em exames):
Explicando as variáveis:
-
é o valor médio do quadrado da distância desde a origem após passos; -
é o número de passos; -
é o comprimento de cada passo (aqui ). - A raiz quadrada desse valor dá a distância típica (root-mean-square):
.
Passo 3
Usar a condição para alcançar o raio
.
- Para que o fóton atinja, em média, uma distância do centro da ordem de
colocamos . Assim: - Isolando
obtemos a relação simples:
Isto é só álgebra: elevar ambos os lados ao quadrado e dividir por
.
Passo 4
Cálculo numérico de
.
- Substituindo os números fornecidos:
- Quadrando:
Conclusão parcial (resposta de (a)): o número médio de passos é da ordem de
passos.
Passo 5
Transformar número de passos em tempo (aula rápida sobre tempo de caminhada).
- Tempo médio por passo: o fóton percorre
a cada “salto” aproximadamente à velocidade , então o tempo por passo é . - Tempo total médio até chegar a
: . - Usando
podemos simplificar:
Isto é útil porque evita reusar
numericamente duas vezes e dá uma expressão direta em termos de
.
Passo 6
Cálculo numérico do tempo em segundos.
- Primeiro calcule
: - Calcule
: usando ,
- Então o tempo em segundos é
Passo 7
Converter o tempo para anos e interpretar.
- Um ano tem aproximadamente
(365{,}25 dias). Dividindo:
- Interpretação rápida e comparação: se o fóton não sofresse espalhamento, viajando em linha reta, o tempo para atravessar até
seria apenas . A caminhada aleatória por espalhamento aumenta o tempo para dezenas de milhares de anos — é daí que vem a famosa afirmação de que a luz “demora” milhares de anos para sair do interior do Sol.
Passo 8
Resumo final, observações e encorajamento.
- Resultados são estimativas de ordem de grandeza, baseadas em hipótese simples (passos isotrópicos, comprimento de passo constante, velocidade
entre colisões). Na realidade o processo tem variações (comprimentos de passo dependem da energia, gradientes, etc.), mas a ordem de magnitude (milhares a dezenas de milhares de anos) é robusta. - Calma: esse tipo de conta é exatamente o que costumam pedir na prova — dominar a ideia de que
e manipular potências de 10 é o essencial. Vai conseguir!
Resposta
(a)
passos
(b)
(b)