(Sethna) Se a fusão nuclear no Sol fosse interrompida hoje, quanto tempo levaria para percebermos? Para estimar a resposta a essa pergunta, considere o seguinte. A maior parte da energia gerada pelo Sol provém de reações que ocorrem próximo
ao seu centro. Acredita-se que no terço externo do Sol o transporte de energia seja dominado por convecção, mas que nas camadas interiores (abaixo de um raio R de cerca de 5 \times 10^{8} \mathrm{~m} ) o processo dominante possa ser modelado como uma caminhada aleatória de fótons de raios X . (Um fóton é um pacote quantizado de energia, que pode ser visto caricaturalmente como uma partícula que se move com velocidade c, a velocidade da luz do vácuo; estamos ignorando o índice de refração do Sol.) Nesse modelo, a cada passo da caminhada o fóton percorre uma distância \ell=1 \mathrm{~mm} \mathrm{em} uma direção aleatória no espaço.
(a) Estime quantos passos aleatórios um fóton que parte do centro do Sol precisa dar em média para alcançar o raio R em que a convecção se torna importante.
(b) Quantos anos um fóton levaria em média para chegar até lá?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Raio interior onde o transporte é por difusão (abaixo da zona convectiva): R = 5\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de passo médio do fóton: \ell = 1\\ \mathrm{mm} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • O fóton se move entre colisões com velocidade aproximadamente c (velocidade da luz no vácuo).
    As perguntas:
    (a) Estimar o número médio de passos aleatórios N que um fóton precisa dar, partindo do centro, para alcançar o raio R.
    (b) Estimar quantos anos isso corresponderia (tempo médio até alcançar R).

Passo 2

Modelo físico e fórmula-chave (aula rápida sobre caminhada aleatória).
  • Em uma caminhada aleatória isotrópica em três dimensões, cada passo é um vetor aleatório com comprimento fixo \ell e direções independentes. Se \vec{s}_1,\vec{s}_2,\dots,\vec{s}_N são os vetores- passo, a posição após N passos é \vec{r}=\sum_{i=1}^{N}\vec{s}_i.
  • O quadrado do deslocamento é \langle r^2\rangle=\langle\vec{r}\cdot\vec{r}\rangle. Expandindo e usando que as direções são independentes e isotrópicas faz com que os termos cruzados tenham média zero, sobrando somente a soma das normas ao quadrado dos passos.
  • Resultado padrão (fórmula usada com frequência em exames): \langle r^{2}\rangle = N\,\ell^{2}.
Explicando as variáveis:
  • \langle r^{2}\rangle é o valor médio do quadrado da distância desde a origem após N passos;
  • N é o número de passos;
  • \ell é o comprimento de cada passo (aqui 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
  • A raiz quadrada desse valor dá a distância típica (root-mean-square): \sqrt{\langle r^{2}\rangle}=\sqrt{N}\,\ell.

Passo 3

Usar a condição para alcançar o raio R.
  • Para que o fóton atinja, em média, uma distância do centro da ordem de R colocamos \sqrt{\langle r^{2}\rangle}\approx R. Assim: R \approx \sqrt{N}\,\ell.
  • Isolando N obtemos a relação simples: N = \left(\frac{R}{\ell}\right)^{2}.
Isto é só álgebra: elevar ambos os lados ao quadrado e dividir por \ell^{2}.

Passo 4

Cálculo numérico de N.
  • Substituindo os números fornecidos: \frac{R}{\ell}=\frac{5\times10^{8}\\ \mathrm{m}}{1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}=5\times10^{11}.
  • Quadrando: N=\left(5\times10^{11}\right)^{2}=25\times10^{22}=2{,}5\times10^{23}.
Conclusão parcial (resposta de (a)): o número médio de passos é da ordem de \;2{,}5\times10^{23}\; passos.

Passo 5

Transformar número de passos em tempo (aula rápida sobre tempo de caminhada).
  • Tempo médio por passo: o fóton percorre \ell a cada “salto” aproximadamente à velocidade c, então o tempo por passo é \tau=\dfrac{\ell}{c}.
  • Tempo total médio até chegar a R: t = N\,\tau = N\,\dfrac{\ell}{c}.
  • Usando N=(R/\ell)^{2} podemos simplificar: t = \left(\frac{R}{\ell}\right)^{2}\frac{\ell}{c} = \frac{R^{2}}{\ell\,c}.
Isto é útil porque evita reusar N numericamente duas vezes e dá uma expressão direta em termos de R,\ell,c.

Passo 6

Cálculo numérico do tempo em segundos.
  • Primeiro calcule R^{2}: R^{2}=(5\times10^{8}\\ \mathrm{m})^{2}=25\times10^{16}\\ \mathrm{m^{2}}=2{,}5\times10^{17}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcule \ell c: usando c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
\ell c = (1\times10^{-3}\\ \mathrm{m})\cdot(3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})=3{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Então o tempo em segundos é t=\frac{R^{2}}{\ell c}=\frac{2{,}5\times10^{17}}{3{,}0\times10^{5}}\\ \mathrm{s}=0{,}8333\times10^{12}\\ \mathrm{s}=8{,}33\times10^{11}\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Converter o tempo para anos e interpretar.
  • Um ano tem aproximadamente 3{,}156\times10^{7}\\ \mathrm{s} (365{,}25 dias). Dividindo:
t_{\text{anos}}=\frac{8{,}33\times10^{11}\\ \mathrm{s}}{3{,}156\times10^{7}\\ \mathrm{s/ano}}\approx2{,}64\times10^{4}\\ \text{anos}.
  • Interpretação rápida e comparação: se o fóton não sofresse espalhamento, viajando em linha reta, o tempo para atravessar até R seria apenas R/c\approx\frac{5\times10^{8}}{3\times10^{8}}\\ \mathrm{s}\approx1{,}7\\ \mathrm{s}. A caminhada aleatória por espalhamento aumenta o tempo para dezenas de milhares de anos — é daí que vem a famosa afirmação de que a luz “demora” milhares de anos para sair do interior do Sol.

Passo 8

Resumo final, observações e encorajamento.
  • Resultados são estimativas de ordem de grandeza, baseadas em hipótese simples (passos isotrópicos, comprimento de passo constante, velocidade c entre colisões). Na realidade o processo tem variações (comprimentos de passo dependem da energia, gradientes, etc.), mas a ordem de magnitude (milhares a dezenas de milhares de anos) é robusta.
  • Calma: esse tipo de conta é exatamente o que costumam pedir na prova — dominar a ideia de que \langle r^{2}\rangle=N\ell^{2} e manipular potências de 10 é o essencial. Vai conseguir!

Resposta

(a) N \approx 2{,}5\times10^{23} passos
(b) t \approx 2{,}6\times10^{4}\\ \text{anos}

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