A variável aleatória x segue uma distribuição de probabilidades uniforme no intervalo (-1,1); a probabilidade de obter valores de x fora desse intervalo é nula. Qual é a distribuição de probabilidades de y=x^{4} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma resposta clara:
  • A variável aleatória X\) tem distribuição uniforme no intervalo \((-1,1)\). Ou seja, a densidade é \[f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&-1<x<1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
  • A variável transformada é Y=X^{4}\]. A pergunta: qual é a distribuição de probabilidades de \(Y (ou seja, qual é a função de distribuição acumulada F_Y e/ou a densidade f_Y)?]

Passo 2

Entender o suporte (valores possíveis) de Y.
  • Como X\in(-1,1), temos |X|<1. Como Y=X^{4} é potência par, Y\ge 0.
  • Além disso, se |X|<1 então X^{4}<1. Assim 0\le Y<1. Com limite incluindo 1 no fechamento do suporte do ponto de vista de probabilidade (a probabilidade de X ser exatamente \pm1 é zero), o suporte efetivo de Y é [0,1].
    Resumo: Y assume valores em [0,1]. Para y<0 vale P(Y\le y)=0 e para y\ge1 vale P(Y\le y)=1.

Passo 3

Escolher método para encontrar F_Y (função de distribuição acumulada): usar o método do CDF (mais direto e seguro quando a transformação não é monotônica).
Definir
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{4}\le y).
Para y<0 já sabemos F_Y(y)=0. Para y\ge1 já sabemos F_Y(y)=1. O caso importante é 0\le y<1.

Passo 4

Resolver a desigualdade X^{4}\le y para 0\le y<1.
  • X^{4}\le y é equivalente a |X|\le y^{1/4}, porque a função t\mapsto t^{4} é crescente para t\ge0 e é par.
  • Logo
\{X^{4}\le y\}=\{-y^{1/4}\le X\le y^{1/4}\}.

Passo 5

Calcular F_Y(y) usando a densidade uniforme de X.
  • A probabilidade de X cair no intervalo [-y^{1/4},y^{1/4}] é o comprimento desse intervalo multiplicado pela densidade constante 1/2:
P\big(-y^{1/4}\le X\le y^{1/4}\big)=\frac{1}{2}\cdot\big( y^{1/4}-(-y^{1/4})\big)=\frac{1}{2}\cdot 2y^{1/4}=y^{1/4}.
  • Portanto, para 0\le y<1 obtém-se
F_Y(y)=y^{1/4}.

Passo 6

Juntar as partes para escrever F_Y completa e limpa:
F_Y(y)=\begin{cases} 0,& y<0,\\[4pt] y^{1/4},& 0\le y<1,\\[4pt] 1,& y\ge 1. \end{cases}]

Passo 7

Obter a densidade f_Y derivando F_Y (onde for diferenciável).
  • Para 0<y<1,
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\big(y^{1/4}\big)=\frac{1}{4}y^{-3/4}.
  • Para y<0 ou y>1 a densidade é 0. Em y=0 a função tem singularidade integrável (tende a +\infty), mas isso não causa problema: a densidade é uma função que integrando em [0,1] 1.

Passo 8

Verificação rápida de normalização (confiança no resultado):
\int_{0}^{1}\frac{1}{4}y^{-3/4}\,dy=\frac{1}{4}\cdot\left[\frac{y^{1/4}}{1/4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}\cdot 4\,(1-0)=1,
logo a densidade é válida.

Passo 9

Apresentar também (opcional, método alternativo e pedagógico) a fórmula de transformação para caso não-monótono:
  • Se Y=g(X) e g tem várias raízes x_i para g(x)=y, então
f_Y(y)=\sum_i \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|}.
  • Para g(x)=x^{4} e 0<y<1 as raízes são x=\pm y^{1/4}. Com g'(x)=4x^{3} e f_X(\pm y^{1/4})=\tfrac{1}{2}, tem-se
f_Y(y)=\frac{1/2}{4y^{3/4}}+\frac{1/2}{4y^{3/4}}=\frac{1}{4}y^{-3/4},
o que coincide com o resultado obtido pelo CDF.

Resposta

F_Y(y)=\begin{cases} 0,& y<0,\\[4pt] y^{1/4},& 0\le y<1,\\[4pt] 1,& y\ge 1, \end{cases}
f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{4}y^{-3/4},&0<y<1,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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