A variável aleatória x segue uma distribuição de probabilidades uniforme no intervalo (-1,1); a probabilidade de obter valores de x fora desse intervalo é nula. Qual é a distribuição de probabilidades de y=x^{4} ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma resposta clara:
A variável aleatória X\) tem distribuição uniforme no intervalo \((-1,1)\). Ou seja, a densidade é
\[f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&-1<x<1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
A variável transformada é Y=X^{4}\].
A pergunta: qual é a distribuição de probabilidades de \(Y (ou seja, qual é a função de distribuição acumulada F_Y e/ou a densidade f_Y)?]
Passo 2
Entender o suporte (valores possíveis) de Y.
Como X\in(-1,1), temos |X|<1. Como Y=X^{4} é potência par, Y\ge 0.
Além disso, se |X|<1 então X^{4}<1. Assim 0\le Y<1. Com limite incluindo 1 no fechamento do suporte do ponto de vista de probabilidade (a probabilidade de X ser exatamente \pm1 é zero), o suporte efetivo de Y é [0,1].
Resumo: Y assume valores em [0,1]. Para y<0 vale P(Y\le y)=0 e para y\ge1 vale P(Y\le y)=1.
Passo 3
Escolher método para encontrar F_Y (função de distribuição acumulada): usar o método do CDF (mais direto e seguro quando a transformação não é monotônica).
Definir
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{4}\le y).
Para y<0 já sabemos F_Y(y)=0. Para y\ge1 já sabemos F_Y(y)=1. O caso importante é 0\le y<1.
Passo 4
Resolver a desigualdade X^{4}\le y para 0\le y<1.
X^{4}\le y é equivalente a |X|\le y^{1/4}, porque a função t\mapsto t^{4} é crescente para t\ge0 e é par.
Logo
\{X^{4}\le y\}=\{-y^{1/4}\le X\le y^{1/4}\}.
Passo 5
Calcular F_Y(y) usando a densidade uniforme de X.
A probabilidade de X cair no intervalo [-y^{1/4},y^{1/4}] é o comprimento desse intervalo multiplicado pela densidade constante 1/2:
Para y<0 ou y>1 a densidade é 0. Em y=0 a função tem singularidade integrável (tende a +\infty), mas isso não causa problema: a densidade é uma função que integrando em [0,1] dá 1.
Passo 8
Verificação rápida de normalização (confiança no resultado):