Um gás é comprimido a partir de um volume inicial de para um volume final de . Durante o processo de quase-equilíbrio, as alterações de pressão, com o volume é dada de acordo com o relação , onde . Calcule o trabalho realizado durante este processo (a), traçando o processo em um diagrama de PV e calculando a área sob a curva de processo e (b) realizando as integrações necessárias. (Resp.: -82,8 KJ)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás que está sendo comprimido de um volume inicial de para um volume final de . Durante essa compressão quase-equilíbrio, a pressão varia com o volume segundo a fórmula , onde e . Precisamos calcular o trabalho realizado durante esse processo de duas maneiras:
(a) traçando o processo num diagrama PV e calculando a área sob a curva,
(b) fazendo as integrações necessárias.
Vamos usar os conceitos de termodinâmica sobre trabalho em processos, e vamos fazer passo a passo para não ficar confuso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por ou sobre o sistema durante um processo de compressão ou expansão pode ser calculado como a área sob a curva no diagrama pressão versus volume (PV). Matemática e visualmente, isso significa que precisamos integrar a pressão em função do volume entre os volumes inicial e final.
Passo 3
Vamos começar pela parte (a): traçar o processo no diagrama PV e calcular a área sob a curva. A equação que relaciona pressão e volume é . Substituindo os valores de e , temos:
Isso é uma reta no diagrama PV, começando em e indo até .
Passo 4
Para encontrar o trabalho, precisamos calcular a área sob essa reta entre os volumes inicial e final. Geometricamente, essa área é um trapézio. A fórmula para a área de um trapézio é:
Onde e são as pressões nos volumes inicial e final, respectivamente, e é a variação do volume.
Passo 5
Vamos calcular e :
Agora,
Passo 6
Substituindo na fórmula da área:
(Note que multiplicamos por porque o volume está diminuindo, ou seja, há compressão, e isso resulta em trabalho negativo.)
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): realizar as integrações necessárias. Sabemos que o trabalho é dado por: