Um gás é comprimido a partir de um volume inicial de 0,42 m^3 para um volume final de 0,12 m^3. Durante o processo de quase-equilíbrio, as alterações de pressão, com o volume é dada de acordo com o relação P=a V+b, onde a=-1200 kPa / m^3 e b=600 kPa. Calcule o trabalho realizado durante este processo (a), traçando o processo em um diagrama de PV e calculando a área sob a curva de processo e (b) realizando as integrações necessárias. (Resp.: -82,8 KJ)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás que está sendo comprimido de um volume inicial de 0,42 , m^3 para um volume final de 0,12 , m^3. Durante essa compressão quase-equilíbrio, a pressão varia com o volume segundo a fórmula P = aV + b, onde a = -1200 , kPa/m^3 e b = 600 , kPa. Precisamos calcular o trabalho realizado durante esse processo de duas maneiras:
(a) traçando o processo num diagrama PV e calculando a área sob a curva,
(b) fazendo as integrações necessárias.
Vamos usar os conceitos de termodinâmica sobre trabalho em processos, e vamos fazer passo a passo para não ficar confuso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por ou sobre o sistema durante um processo de compressão ou expansão pode ser calculado como a área sob a curva no diagrama pressão versus volume (PV). Matemática e visualmente, isso significa que precisamos integrar a pressão em função do volume entre os volumes inicial e final.

Passo 3

Vamos começar pela parte (a): traçar o processo no diagrama PV e calcular a área sob a curva. A equação que relaciona pressão e volume é P = aV + b. Substituindo os valores de a e b, temos:
P = -1200 , kPa/m^3 cdot V + 600 , kPa
Isso é uma reta no diagrama PV, começando em V = 0,42 , m^3 e indo até V = 0,12 , m^3.

Passo 4

Para encontrar o trabalho, precisamos calcular a área sob essa reta entre os volumes inicial e final. Geometricamente, essa área é um trapézio. A fórmula para a área de um trapézio é:
Área = (P1 + P2)2 cdot DeÁ
Onde P1 e P2 são as pressões nos volumes inicial e final, respectivamente, e De é a variação do volume.

Passo 5

Vamos calcular P1 e P2:
P1 = -1200 cdot 0,42 + 600 = -504 + 600 = 96 , kPa
P2 = -1200 cdot 0,12 + 600 = -144 + 600 = 456 , kPa
Agora, De

Passo 6

Substituindo na fórmula da área:
Área = (96 + 456)2 cdot (-0,30) = 5522 cdot (-0,30) = 276 cdot (-0,30) = -82,8 , kJ Á
(Note que multiplicamos por -0,30 porque o volume está diminuindo, ou seja, há compressão, e isso resulta em trabalho negativo.)

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): realizar as integrações necessárias. Sabemos que o trabalho W é dado por:
W = integralVi^Vf P , dV
Substituindo a expressão de P:
W = integral0,42^0,12 (-1200 V + 600) , dV

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
W = integral0,42^0,12 (-1200 V) , dV + integral0,42^0,12 600 , dV
W = -1200 cdot V^22 |0,42^0,12 + 600 cdot V |0,42^0,12

Passo 9

Calculando cada parte:
-1200 cdot (0,12)^2 - (0,42)^22 = -1200 cdot 0,0144 - 0,17642 = -1200 cdot -0,1622 = -1200 cdot (-0,081) = 97,2 , kJ
600 cdot (0,12 - 0,42) = 600 cdot (-0,30) = -180 , kJ

Passo 10

Somando os dois resultados:
W = 97,2 + (-180) = -82,8 , kJ

Resposta

O trabalho realizado durante o processo de compressão é -82,8 , kJ.

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